Considere a matriz A=[lll0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0].
Exiba matrizes P invertível e D diagonal tais que A=P D P^-1.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: , que precisa ser invertível (ou seja, ter inversa), e , que deve ser uma matriz diagonal. Essas matrizes devem satisfazer a relação . Isso é o que chamamos de diagonalização de matrizes, um conceito importante no estudo de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 0 - lambda & 1 & 1 1 & 0 - lambda & 1 1 & 1 & 0 - lambda = -lambda & 1 & 1 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda ( (-lambda)(-lambda) - 1 cdot 1 ) - 1 ( 1 cdot (-lambda) - 1 cdot 1 ) + 1 ( 1 cdot 1 - (-lambda) cdot 1 )
Simplificando:
= -lambda (lambda^2 - 1) - 1 (-lambda - 1) + 1 (1 + lambda)
= -lambda^3 + lambda - (-lambda -1) + (1 + lambda)
= -lambda^3 + lambda + lambda + 1 + 1 + lambda
= -lambda^3 + 3lambda + 2

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
-lambda^3 + 3lambda + 2 = 0 Rightarrow lambda^3 - 3lambda - 2 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores inteiros, vemos que:
Para 1 - 3 - 2 = -4 neq 0 :
8 - 6 - 2 = 0
Para (lambda - 2)(lambda^2 + 2lambda + 1) = 0 :
lambda = -2 pm raiz4 - 42 = -1
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar a equação:
Resolvendo :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 , resolvemos 1 1 1 :
1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de 1 -1 0 .
Para 1 0 -1 , resolvemos :
Isso nos dá vetores que satisfazem . Dois vetores independentes que satisfazem isso são e .

Passo 7

Agora, montamos a matriz P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 com os autovetores como colunas:
D = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1
E a matriz com os autovalores na diagonal:

Resposta

As matrizes desejadas são:
P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 e D = 2 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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