Considere a matriz .
Exiba matrizes P invertível e D diagonal tais que A=P D P^-1.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma matriz quadrada e precisa encontrar duas matrizes: , que precisa ser invertível (ou seja, ter inversa), e , que deve ser uma matriz diagonal. Essas matrizes devem satisfazer a relação . Isso é o que chamamos de diagonalização de matrizes, um conceito importante no estudo de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.