Seja W o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores w_{1}=(1,1,0) e w_{2}=(1,0,1). Determine uma base para \mathbb{W}^{\perp} quando \mathbb{R}^{3} estiver munido com os seguintes produtos internos.
\langle u, v\rangle=2 u_{1} v_{1}+u_{2} v_{2}+u_{3} v_{3}.

Passo 1

O enunciado diz que W é o subespaço de \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores w_{1}=(1,1,0) e w_{2}=(1,0,1). Pede-se uma base para o espaço ortogonal \mathbb{W}^{\perp} quando o produto interno é
\langle u,v\rangle = 2u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Geradores de W: \;w_{1}=(1,1,0) e \;w_{2}=(1,0,1).
  • Produto interno dado explicitamente (note que pesa a primeira coordenada por 2).
    A tarefa concreta: encontrar todos os vetores v\in\mathbb{R}^{3} tais que \langle v,w\rangle=0 para todo w\in W, e produzir uma base para esse conjunto.

Passo 2

Definição e ideia prática que vamos usar (passo-a-passo didático): \mathbb{W}^{\perp} é o conjunto de vetores v tais que \langle v,w\rangle=0 para todo w\in W. Como W=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}, é suficiente exigir a ortogonalidade apenas com os geradores: v\in\mathbb{W}^{\perp} se e somente se
\langle v,w_{1}\rangle=0\quad\text{e}\quad \langle v,w_{2}\rangle=0.
Essa redução funciona porque o produto interno é bilinear: se v é ortogonal a w_{1} e w_{2}, então para qualquer combinação linear a w_{1}+b w_{2} teremos \langle v,a w_{1}+b w_{2}\rangle = a\langle v,w_{1}\rangle + b\langle v,w_{2}\rangle = 0.

Passo 3

Vamos escrever um vetor genérico v\in\mathbb{R}^{3} como v=(x,y,z) (com x,y,z desconhecidos) e impor as duas condições de ortogonalidade usando o produto interno fornecido.
Calculemos \langle v,w_{1}\rangle. Usando w_{1}=(1,1,0):
\langle v,w_{1}\rangle = 2x\cdot 1 + y\cdot 1 + z\cdot 0 = 2x + y.
A condição \langle v,w_{1}\rangle=0 dá a equação
2x + y = 0.
Agora calculemos \langle v,w_{2}\rangle. Usando w_{2}=(1,0,1):
\langle v,w_{2}\rangle = 2x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot 1 = 2x + z.
A condição \langle v,w_{2}\rangle=0 dá a equação
2x + z = 0.
Portanto obtemos o sistema linear (em x,y,z):
\begin{cases} 2x + y = 0,\\[4pt] 2x + z = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema de forma elementar. Da primeira equação temos
y = -2x.
Da segunda equação temos
z = -2x.
Logo y e z são ambos -2x. Escrevendo v em função de x:
v = (x,y,z) = \bigl(x,-2x,-2x\bigr) = x\,(1,-2,-2).
Isto mostra que todo vetor ortogonal a W é um múltiplo escalar de (1,-2,-2).

Passo 5

Conclusão e verificação rápida: o conjunto \mathbb{W}^{\perp} é a reta gerada por (1,-2,-2), isto é \mathbb{W}^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-2,-2)\}. Podemos verificar rapidamente que (1,-2,-2) é realmente ortogonal a ambos w_{1} e w_{2} usando o produto interno:
\langle (1,-2,-2),w_{1}\rangle = 2\cdot 1\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + (-2)\cdot 0 = 2-2+0=0,
\langle (1,-2,-2),w_{2}\rangle = 2\cdot 1\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + (-2)\cdot 1 = 2+0-2=0.
Além disso, w_{1} e w_{2} são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), então \dim W=2 e, como esperado, \dim \mathbb{W}^{\perp}=1.

Resposta

\{(1,-2,-2)\}

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