Seja W o subespaço de
gerado pelos vetores
e
. Determine uma base para
quando
estiver munido com os seguintes produtos internos.
.
Passo 1
O enunciado diz que
é o subespaço de
gerado pelos vetores
e
. Pede-se uma base para o espaço ortogonal
quando o produto interno é
Informações relevantes fornecidas:
- Geradores de
: e . - Produto interno dado explicitamente (note que pesa a primeira coordenada por
).
A tarefa concreta: encontrar todos os vetorestais que para todo , e produzir uma base para esse conjunto.
Passo 2
Definição e ideia prática que vamos usar (passo-a-passo didático):
é o conjunto de vetores
tais que
para todo
. Como
, é suficiente exigir a ortogonalidade apenas com os geradores:
se e somente se
Essa redução funciona porque o produto interno é bilinear: se
é ortogonal a
e
, então para qualquer combinação linear
teremos
.
Passo 3
Vamos escrever um vetor genérico
como
(com
desconhecidos) e impor as duas condições de ortogonalidade usando o produto interno fornecido.
Calculemos
. Usando
:
A condição
dá a equação
Agora calculemos
. Usando
:
A condição
dá a equação
Portanto obtemos o sistema linear (em
):
Passo 4
Resolva o sistema de forma elementar. Da primeira equação temos
Da segunda equação temos
Logo
e
são ambos
. Escrevendo
em função de
:
Isto mostra que todo vetor ortogonal a
é um múltiplo escalar de
.
Passo 5
Conclusão e verificação rápida: o conjunto
é a reta gerada por
, isto é
. Podemos verificar rapidamente que
é realmente ortogonal a ambos
e
usando o produto interno:
Além disso,
e
são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), então
e, como esperado,
.