Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base
, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial
munido com um produto interno
.
e
.
Passo 1
O problema pede: a partir da base
, encontrar uma base ortonormal de
relativa ao produto interno dado.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
e a base
O objetivo explícito: produzir vetores
que sejam ortogonais entre si segundo
e cada um de norma
(ou seja, uma base ortonormal).
Passo 2
Método escolhido: processo de Gram–Schmidt adaptado ao produto interno dado. Vou explicar as fórmulas antes de usar:
que projeta
sobre a direção de
. No Gram–Schmidt, definimos vetores ortogonais
por
Depois normalizamos cada
dividindo por
para obter
. Lembre-se: todas as
usam
.
Passo 3
Começamos com
.
Calculemos a norma ao quadrado:
Calculemos a norma ao quadrado:
Logo a norma de
é
. Normalizando,
Passo 4
Agora
. Primeiro o produto interno com
:
Portanto a projeção de
sobre
é
Assim
Fatorando
. Agora calculemos
. Usando a escala:
Calcule o interno do vetor inteiro:
Logo
A norma de
é
. Normalizando:
Simplificando o fator, obtemos a forma mais direta:
(Observe que
.)
Passo 5
Agora
. Precisamos das projeções sobre
e
.
Primeiro
logo
.
Segundo, usamos
. Calcule
Assim
portanto o coeficiente da projeção sobre
é
Então
Agora
Fazendo as contas (colocando tudo em frações e simplificando) obtemos
Ou, fatorando,
Passo 6
Calcule agora
. Usando
,
Então
A norma é
. Para normalizar
é mais conveniente observar que como
é proporcional a
, podemos tomar
Isto é válido porque
, então dividir por
dá norma
. Além disso
é colinear a
, portanto permanece ortogonal a
e
.
Passo 7
Verificação rápida (mostrando que deu certinho):
e
o que confirma que
é uma base ortonormal para
.