Em cada um dos casos abaixo, a partir de uma base \beta, determine uma base ortonormal para o espaço vetorial \mathbb{V} munido com um produto interno \langle\cdot, \cdot\rangle.
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{3},\langle u, v\rangle=u_{1} v_{1}+5 u_{2} v_{2}+2 u_{3} v_{3} e \left.\beta=\{(2,1,1),(1,0,-2),(0,2,-2)\}\right\}.

Passo 1

O problema pede: a partir da base \beta, encontrar uma base ortonormal de \mathbb{V}=\mathbb{R}^{3} relativa ao produto interno dado.
Dados fornecidos:
\mathbb{V}=\mathbb{R}^{3},\qquad \langle u,v\rangle = u_{1}v_{1}+5u_{2}v_{2}+2u_{3}v_{3},
e a base
\beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\{(2,1,1),(1,0,-2),(0,2,-2)\}.
O objetivo explícito: produzir vetores \{e_{1},e_{2},e_{3}\} que sejam ortogonais entre si segundo \langle\cdot,\cdot\rangle e cada um de norma 1 (ou seja, uma base ortonormal).

Passo 2

Método escolhido: processo de Gram–Schmidt adaptado ao produto interno dado. Vou explicar as fórmulas antes de usar:
\text{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u,
que projeta v sobre a direção de u. No Gram–Schmidt, definimos vetores ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} por
u_{1}=v_{1},\qquad u_{2}=v_{2}-\text{proj}_{u_{1}}(v_{2}),\qquad u_{3}=v_{3}-\text{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\text{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
Depois normalizamos cada u_{i} dividindo por \sqrt{\langle u_{i},u_{i}\rangle} para obter e_{i}. Lembre-se: todas as \langle\cdot,\cdot\rangle usam \langle x,y\rangle = x_1 y_1 + 5 x_2 y_2 + 2 x_3 y_3.

Passo 3

Começamos com u_{1}=v_{1}=(2,1,1).
Calculemos a norma ao quadrado:
\langle v_{1},v_{1}\rangle = 2^{2}+5\cdot1^{2}+2\cdot1^{2}=4+5+2=11.
Logo a norma de u_{1} é \sqrt{11}. Normalizando,
e_{1}=\frac{u_{1}}{\sqrt{\langle u_{1},u_{1}\rangle}}=\frac{(2,1,1)}{\sqrt{11}}.

Passo 4

Agora v_{2}=(1,0,-2). Primeiro o produto interno com u_{1}:
\langle v_{2},u_{1}\rangle = 1\cdot2 + 5\cdot0\cdot1 + 2\cdot(-2)\cdot1 = 2 + 0 -4 = -2.
Portanto a projeção de v_{2} sobre u_{1} é
\text{proj}_{u_{1}}(v_{2})=\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1}=\frac{-2}{11}(2,1,1)=\left(-\frac{4}{11},-\frac{2}{11},-\frac{2}{11}\right).
Assim
u_{2}=v_{2}-\text{proj}_{u_{1}}(v_{2})=(1,0,-2)-\left(-\frac{4}{11},-\frac{2}{11},-\frac{2}{11}\right)=\left(\frac{15}{11},\frac{2}{11},-\frac{20}{11}\right).
Fatorando u_{2}=\frac{1}{11}(15,2,-20). Agora calculemos \langle u_{2},u_{2}\rangle. Usando a escala:
\langle u_{2},u_{2}\rangle = \left(\frac{1}{11}\right)^{2}\langle(15,2,-20),(15,2,-20)\rangle.
Calcule o interno do vetor inteiro:
\langle(15,2,-20),(15,2,-20)\rangle = 15^{2} + 5\cdot2^{2} + 2\cdot(-20)^{2} =225 +20 +800 =1045.
Logo
\langle u_{2},u_{2}\rangle = \frac{1045}{121}=\frac{95}{11}.
A norma de u_{2} é \sqrt{\tfrac{95}{11}}. Normalizando:
e_{2}=\frac{u_{2}}{\sqrt{\langle u_{2},u_{2}\rangle}}=\frac{\frac{1}{11}(15,2,-20)}{\sqrt{95/11}}.
Simplificando o fator, obtemos a forma mais direta:
e_{2}=\frac{(15,2,-20)}{\sqrt{1045}}.
(Observe que \sqrt{1045}=\sqrt{11\cdot95}=\sqrt{11}\sqrt{95}.)

Passo 5

Agora v_{3}=(0,2,-2). Precisamos das projeções sobre u_{1} e u_{2}.
Primeiro
\langle v_{3},u_{1}\rangle = 0\cdot2 + 5\cdot2\cdot1 + 2\cdot(-2)\cdot1 = 0 +10 -4 =6,
logo \text{proj}_{u_{1}}(v_{3})=\dfrac{6}{11}u_{1}=\left(\dfrac{12}{11},\dfrac{6}{11},\dfrac{6}{11}\right).
Segundo, usamos u_{2}=\dfrac{1}{11}(15,2,-20). Calcule
\langle v_{3},(15,2,-20)\rangle = 0\cdot15 + 5\cdot2\cdot2 + 2\cdot(-2)\cdot(-20) = 0 +20 +80 =100.
Assim
\langle v_{3},u_{2}\rangle = \frac{1}{11}\cdot100=\frac{100}{11}, \qquad \langle u_{2},u_{2}\rangle=\frac{95}{11},
portanto o coeficiente da projeção sobre u_{2} é
\frac{\langle v_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}=\frac{100/11}{95/11}=\frac{100}{95}=\frac{20}{19}.
Então
\text{proj}_{u_{2}}(v_{3})=\frac{20}{19}u_{2}=\frac{20}{19}\cdot\frac{1}{11}(15,2,-20)=\frac{1}{209}(300,40,-400).
Agora
u_{3}=v_{3}-\text{proj}_{u_{1}}(v_{3})-\text{proj}_{u_{2}}(v_{3}).
Fazendo as contas (colocando tudo em frações e simplificando) obtemos
u_{3}=\left(-\frac{48}{19},\frac{24}{19},-\frac{12}{19}\right).
Ou, fatorando,
u_{3}=\frac{12}{19}(-4,2,-1).

Passo 6

Calcule agora \langle u_{3},u_{3}\rangle. Usando u_{3}=\dfrac{12}{19}(-4,2,-1),
\langle(-4,2,-1),(-4,2,-1)\rangle = (-4)^{2}+5\cdot2^{2}+2\cdot(-1)^{2}=16+20+2=38.
Então
\langle u_{3},u_{3}\rangle = \left(\frac{12}{19}\right)^{2}\cdot 38 = \frac{144\cdot38}{361} = \frac{5472}{361} = \frac{288}{19}.
A norma é \sqrt{\tfrac{288}{19}} = \dfrac{12\sqrt{2}}{\sqrt{19}}. Para normalizar u_{3} é mais conveniente observar que como u_{3} é proporcional a (-4,2,-1), podemos tomar
e_{3}=\frac{(-4,2,-1)}{\sqrt{38}}.
Isto é válido porque \langle(-4,2,-1),(-4,2,-1)\rangle=38, então dividir por \sqrt{38} dá norma 1. Além disso e_{3} é colinear a u_{3}, portanto permanece ortogonal a u_{1} e u_{2}.

Passo 7

Verificação rápida (mostrando que deu certinho):
\langle e_{1},e_{1}\rangle =1,\qquad \langle e_{2},e_{2}\rangle =1,\qquad \langle e_{3},e_{3}\rangle =1,
e
\langle e_{1},e_{2}\rangle =0,\qquad \langle e_{1},e_{3}\rangle =0,\qquad \langle e_{2},e_{3}\rangle =0,
o que confirma que \{e_{1},e_{2},e_{3}\} é uma base ortonormal para (\mathbb{R}^{3},\langle\cdot,\cdot\rangle).

Resposta

\displaystyle e_{1}=\frac{(2,1,1)}{\sqrt{11}}\n
\displaystyle e_{2}=\frac{(15,2,-20)}{\sqrt{1045}}\n
\displaystyle e_{3}=\frac{(-4,2,-1)}{\sqrt{38}}

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