Questão 5. Considere \mathbb{R}^{3} munido com o produto interno usual e o subconjunto \beta= \{(2,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\} de \mathbb{R}^{3}.
a) Determine \beta^{\perp}.
b) Se tivéssemos \beta=[(2,1,1),(1,0,1),(1,1,0)] o que seria \beta^{\perp}. Considerando esta hipótese, determine bases ortogonais para \beta e \beta^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço \mathbb{R}^{3} com o produto interno usual e os vetores
v_{1}=(2,1,1),\qquad v_{2}=(1,0,1),\qquad v_{3}=(1,1,0).
São feitas duas perguntas:
  1. (a) Determinar \beta^{\perp} quando \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} (aqui \beta é o conjunto desses 3 vetores).
  2. (b) Supondo que agora \beta=[v_{1},v_{2},v_{3}] signifique o subespaço gerado por esses vetores (isto é, \beta=\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}), determinar \beta^{\perp} e apresentar bases ortogonais para \beta e para \beta^{\perp}.
Informações relevantes dadas:
  • Produto interno usual em \mathbb{R}^{3}: \langle (x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3})\rangle = x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.
  • Os três vetores v_{1},v_{2},v_{3} dados acima.

Passo 2

Explico o que significa \beta^{\perp} e como vamos calcular: para um conjunto de vetores \beta, a definição é
\beta^{\perp}=\{w\in\mathbb{R}^{3} \mid \langle w, u\rangle =0\\ \text{para todo }u\in\beta\}.
Na prática, para \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} isso vira um sistema linear de equações: um vetor w=(x,y,z) pertence a \beta^{\perp} se e só se suas componentes satisfazem \langle w,v_{i}\rangle=0 para i=1,2,3. Vou montar e resolver esse sistema passo a passo.

Passo 3

Escrevo as equações \langle w,v_{i}\rangle=0 explicitamente. Seja w=(x,y,z). Então:
\langle w,v_{1}\rangle = 2x + y + z = 0,
\langle w,v_{2}\rangle = x + 0\cdot y + z = x+z = 0,
\langle w,v_{3}\rangle = x + y + 0\cdot z = x+y = 0.
Temos, portanto, o sistema linear
\begin{cases} 2x+y+z=0,\\[4pt] x+z=0,\\[4pt] x+y=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema por substituição:
Da segunda equação \\ x+z=0 obtemos \\ z=-x.
Da terceira equação \\ x+y=0 obtemos \\ y=-x.
Substituindo essas duas expressões na primeira equação:
2x + (-x) + (-x) = 2x - x - x = 0,
que é uma identidade (0=0), então não impõe restrição adicional. Assim a solução é
(x,y,z) = (t,-t,-t) = t\,(1,-1,-1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Portanto o conjunto de todas as soluções é a reta gerada por (1,-1,-1).

Passo 5

Concluímos que, para a parte (a),
\beta^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-1,-1)\}.
Vou agora tratar a parte (b), onde \beta é o subespaço gerado pelos mesmos vetores.

Passo 6

Observação importante e útil: verifiquemos se os três vetores são linearmente independentes ou não. Note que
v_{2}+v_{3} = (1,0,1)+(1,1,0) = (2,1,1) = v_{1}.
Portanto v_{1}=v_{2}+v_{3}, os três são linearmente dependentes e \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\operatorname{span}\{v_{2},v_{3}\}. O subespaço \beta tem dimensão 2. Pelo teorema da dimensão em espaços euclidianos vale \dim(\beta)+\dim(\beta^{\perp})=3, então \dim(\beta^{\perp})=1. Isso confirma o resultado da parte (a): \beta^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-1,-1)\} também neste caso.

Passo 7

Agora precisamos de bases ortogonais para \beta e para \beta^{\perp}. Para \beta^{\perp} é imediato: um vetor não-nulo gerador já é uma base (um único vetor) e é ortogonal por definição, então uma base ortogonal é \{(1,-1,-1)\}.
Para \beta (um plano), escolhemos dois vetores independentes em \beta, por exemplo v_{2}=(1,0,1) e v_{3}=(1,1,0). Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal a partir deles. Lembra da fórmula da projeção? Para vetores a,b com produto interno usual,
\operatorname{proj}_{a}(b)=\frac{\langle b,a\rangle}{\langle a,a\rangle}\,a.
Passo a passo do Gram–Schmidt:
  • Tomo u_{1}=v_{2}=(1,0,1).
  • Calculo \langle u_{1},u_{1}\rangle = 1^{2}+0^{2}+1^{2}=2.
  • Calculo \langle v_{3},u_{1}\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 1.
  • A projeção de v_{3} sobre u_{1} é
\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3})=\frac{1}{2}\,u_{1}=\left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right).
  • Defino u_{2}=v_{3}-\operatorname{proj}_{u_{1}}(v_{3}). Então
u_{2} = (1,1,0) - \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\right).
Verifique que \langle u_{1},u_{2}\rangle = 1\cdot\tfrac{1}{2} + 0\cdot1 + 1\cdot(-\tfrac{1}{2}) = 0, ou seja, são ortogonais.

Passo 8

Como prefiro bases com coordenadas inteiras para ficar mais limpo na prova, posso multiplicar u_{2} por 2 sem perder ortogonalidade: u_{2}'=2u_{2}=(1,2,-1). Note que \langle u_{1},u_{2}'\rangle = 0 também. Assim uma base ortogonal para \beta é
\{\,u_{1},u_{2}'\} = \{(1,0,1),(1,2,-1)\}.
E uma base ortogonal para \beta^{\perp} é
\{(1,-1,-1)\}.
Se você quiser, dá para normalizar esses vetores e obter uma base ortonormal, mas a questão pedia apenas bases ortogonais, então já está resolvido.

Resposta

a) \displaystyle \beta^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-1,-1)\}
b) \displaystyle \beta^{\perp}=\operatorname{span}\{(1,-1,-1)\}
Bases ortogonais para \beta: \{(1,0,1),(1,2,-1)\}
Base ortogonal para \beta^{\perp}: \{(1,-1,-1)\}

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