Seja
um vetor de
. Encontre uma base do subespaço
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede uma base do subespaço
.
O que isso significa, em termos concretos: é o conjunto de todos os vetores
tais que o produto escalar de
com
é zero. Em símbolos, queremos todos os
que satisfazem
O que isso significa, em termos concretos:
As informações relevantes: o vetor
está totalmente especificado; o objetivo é descrever uma base (um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo
).
Passo 2
Vamos escrever o produto escalar e a equação que define
. Para vetores em
o produto escalar padrão é
A condição
vira, portanto, a equação linear
Essa é a única equação que os componentes de
precisam satisfazer para pertencer a
.
Passo 3
Resolvendo a equação linear: vamos expressar
em função de
. Isolando
obtemos
Como temos uma única equação em quatro incógnitas, podemos escolher três variáveis livres. Seja
onde
são parâmetros. Então
Passo 4
Escrevendo o vetor geral
em função dos parâmetros
:
Agora separamos em combinação linear dos parâmetros:
Isto mostra que todo vetor de
é combinação linear dos três vetores
Passo 5
Verificamos que cada um desses vetores realmente pertence a
calculando o produto escalar com
:
Portanto
.
Passo 6
Mostramos que
são linearmente independentes. Suponha que existam
tais que
Isso dá, compondo coordenadas,
Da segunda, terceira e quarta coordenadas obtemos imediatamente
,
,
. Assim os coeficientes são nulos, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Concluímos que
geram
(pelo passo 4) e são linearmente independentes (passo 6). Portanto formam uma base de
. Como comentário extra e motivador: o espaço
tem dimensão
, então uma base com três vetores é exatamente o que se espera.