Seja w=(1,2,3,1) um vetor de \mathbb{R}^{4}. Encontre uma base do subespaço w^{\perp}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor w=(1,2,3,1)\in\mathbb{R}^4 e pede uma base do subespaço w^{\perp}.
O que isso significa, em termos concretos: w^{\perp} é o conjunto de todos os vetores v=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4} tais que o produto escalar de v com w é zero. Em símbolos, queremos todos os v que satisfazem
w\cdot v=0.
As informações relevantes: o vetor w está totalmente especificado; o objetivo é descrever uma base (um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo w^{\perp}).

Passo 2

Vamos escrever o produto escalar e a equação que define w^{\perp}. Para vetores em \mathbb{R}^{4} o produto escalar padrão é
w\cdot v = 1\cdot x_{1}+2\cdot x_{2}+3\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}.
A condição w\cdot v=0 vira, portanto, a equação linear
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0.
Essa é a única equação que os componentes de v precisam satisfazer para pertencer a w^{\perp}.

Passo 3

Resolvendo a equação linear: vamos expressar x_{1} em função de x_{2},x_{3},x_{4}. Isolando x_{1} obtemos
x_{1}=-2x_{2}-3x_{3}-x_{4}.
Como temos uma única equação em quatro incógnitas, podemos escolher três variáveis livres. Seja
x_{2}=s,\qquad x_{3}=t,\qquad x_{4}=u,
onde s,t,u\in\mathbb{R} são parâmetros. Então
x_{1}=-2s-3t-u.

Passo 4

Escrevendo o vetor geral v em função dos parâmetros s,t,u:
v=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (-2s-3t-u,\; s,\; t,\; u).
Agora separamos em combinação linear dos parâmetros:
v = s(-2,1,0,0) + t(-3,0,1,0) + u(-1,0,0,1).
Isto mostra que todo vetor de w^{\perp} é combinação linear dos três vetores
v_{1}=(-2,1,0,0),\qquad v_{2}=(-3,0,1,0),\qquad v_{3}=(-1,0,0,1).

Passo 5

Verificamos que cada um desses vetores realmente pertence a w^{\perp} calculando o produto escalar com w:
w\cdot v_{1}=1\cdot(-2)+2\cdot1+3\cdot0+1\cdot0 = -2+2+0+0=0,
w\cdot v_{2}=1\cdot(-3)+2\cdot0+3\cdot1+1\cdot0 = -3+0+3+0=0,
w\cdot v_{3}=1\cdot(-1)+2\cdot0+3\cdot0+1\cdot1 = -1+0+0+1=0.
Portanto v_{1},v_{2},v_{3}\in w^{\perp}.

Passo 6

Mostramos que v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Suponha que existam \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=0.
Isso dá, compondo coordenadas,
(\,-2\alpha-3\beta-\gamma,\;\alpha,\;\beta,\;\gamma\,)=(0,0,0,0).
Da segunda, terceira e quarta coordenadas obtemos imediatamente \alpha=0, \beta=0, \gamma=0. Assim os coeficientes são nulos, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Concluímos que v_{1},v_{2},v_{3} geram w^{\perp} (pelo passo 4) e são linearmente independentes (passo 6). Portanto formam uma base de w^{\perp}. Como comentário extra e motivador: o espaço w^{\perp} tem dimensão 4-1=3, então uma base com três vetores é exatamente o que se espera.

Resposta

\{(-2,1,0,0),\;(-3,0,1,0),\;(-1,0,0,1)\}

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