Seja
. Determine
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
, isto é:
A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função
depende de três variáveis , e . - Quer-se a derivada parcial em relação a
, mantendo e fixos.
Passo 2
O que significa derivada parcial em relação a
?\n
A derivada parcial mede a taxa de variação de
quando apenas
varia e
permanecem constantes. Em termos operacionais: na hora de derivar em relação a
, trata-se
e
como constantes, exatamente como se fossem números fixos.
A derivada parcial
Passo 3
Reescrevendo a função para ficar mais claro o que é constante e o que depende de
:
Aqui
é um fator que não depende de
, logo é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 4
Regra usada: a derivada de um produto em que um fator é constante é a constante vezes a derivada do outro fator. Ou seja, se
é constante e
é uma função de
, então
Aplicando isso com
e
, obtemos
Passo 5
Agora precisamos da derivada de
. A identidade básica é:
Substituindo na expressão do passo anterior:
Passo 6
Simplificando o produto de constantes/sinais chegamos à forma final (aqui está o resultado final da conta, escrito de forma simplificada):
Passo 7
Dica prática para a prova: sempre identifique fatores que não dependem da variável em relação à qual vai derivar — trate-os como constantes. Lembre-se também da derivada
. Se tiver dúvida, teste com valores numéricos (por exemplo, para
,
,
a derivada vale
) para conferir a coerência.