Seja w=x^{2} y \cos z. Determine
\partial w / \partial z(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de w em relação a z, isto é:
\frac{\partial w}{\partial z}(x,y,z).
A função dada é
w = x^{2} y \cos z.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função w depende de três variáveis x, y e z.
  • Quer-se a derivada parcial em relação a z, mantendo x e y fixos.

Passo 2

O que significa derivada parcial em relação a z?\n
A derivada parcial \dfrac{\partial w}{\partial z} mede a taxa de variação de w quando apenas z varia e x,y permanecem constantes. Em termos operacionais: na hora de derivar em relação a z, trata-se x e y como constantes, exatamente como se fossem números fixos.

Passo 3

Reescrevendo a função para ficar mais claro o que é constante e o que depende de z:
w = \bigl(x^{2} y\bigr)\cdot \cos z.
Aqui \bigl(x^{2} y\bigr) é um fator que não depende de z, logo é tratado como constante ao derivar em relação a z.

Passo 4

Regra usada: a derivada de um produto em que um fator é constante é a constante vezes a derivada do outro fator. Ou seja, se C é constante e f(z) é uma função de z, então
\frac{d}{dz}\bigl(C\cdot f(z)\bigr)=C\cdot f'(z).
Aplicando isso com C = x^{2} y e f(z)=\cos z, obtemos
\frac{\partial w}{\partial z} = \bigl(x^{2} y\bigr)\cdot \frac{d}{dz}\bigl(\cos z\bigr).

Passo 5

Agora precisamos da derivada de \cos z. A identidade básica é:
\frac{d}{dz}\bigl(\cos z\bigr) = -\sin z.
Substituindo na expressão do passo anterior:
\frac{\partial w}{\partial z} = \bigl(x^{2} y\bigr)\cdot \bigl(-\sin z\bigr).

Passo 6

Simplificando o produto de constantes/sinais chegamos à forma final (aqui está o resultado final da conta, escrito de forma simplificada):
\frac{\partial w}{\partial z} = -x^{2} y \sin z.

Passo 7

Dica prática para a prova: sempre identifique fatores que não dependem da variável em relação à qual vai derivar — trate-os como constantes. Lembre-se também da derivada \dfrac{d}{dz}\cos z = -\sin z. Se tiver dúvida, teste com valores numéricos (por exemplo, para x=1, y=2, z=\tfrac{\pi}{2} a derivada vale -1^{2}\cdot 2\cdot \sin(\tfrac{\pi}{2})=-2) para conferir a coerência.

Resposta

-x^{2} y \sin z

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