Seja
. Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde avaliar é
— note que fica como parâmetro (não foi dado valor numérico). - O pedido é
.
Passo 2
Vou lembrar o que significa derivada parcial em relação a
. A definição é
ou seja, ao derivar em relação a
mantém-se
e
fixos (constantes) e analisa-se apenas a variação quando
muda. Essa é a ideia chave: tratar
e
como constantes enquanto derivamos em relação a
.
Passo 3
Aplicando a definição à função
, primeiro escrevo
:
Agora faço a diferença do numerador da definição da derivada parcial:
Dividindo por
e tomando o limite
,
Portanto a derivada parcial geral é
.
Passo 4
Uma maneira mais curta (útil em prova) é ver
. Aqui
é apenas um fator constante quando derivamos em relação a
, e como
, obtém-se diretamente
Essa observação é prática: ao derivar em relação a uma variável, trate as outras como constantes e aplique as regras usuais de derivação.
Passo 5
Agora avalio no ponto
. Basta substituir
na expressão encontrada:
Repare que o resultado ainda depende de
— isso é normal, pois a derivada parcial em
pode depender das outras variáveis mantidas fixas.
Passo 6
Dica rápida para a prova (animação!): sempre que pedirem
, faça mentalmente "segura
e
, deriva só em
". Exemplinho extra: se
, então
. Isso segue a mesma ideia: trate
e
como constantes.