Seja w=x^{2} y \cos z. Determine
\partial w / \partial y(2,1, z)

Passo 1

O enunciado dá a função \,w=x^{2}y\cos z\, e pede a derivada parcial de w em relação a y no ponto (2,1,z).
Informações relevantes:
  • A função é \,w=x^{2}y\cos z\,.
  • O ponto onde avaliar é (x,y,z)=(2,1,z) — note que z fica como parâmetro (não foi dado valor numérico).
  • O pedido é \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}(2,1,z).

Passo 2

Vou lembrar o que significa derivada parcial em relação a y. A definição é
\frac{\partial w}{\partial y}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{w(x,y+h,z)-w(x,y,z)}{h},
ou seja, ao derivar em relação a y mantém-se x e z fixos (constantes) e analisa-se apenas a variação quando y muda. Essa é a ideia chave: tratar x e z como constantes enquanto derivamos em relação a y.

Passo 3

Aplicando a definição à função \,w=x^{2}y\cos z\,, primeiro escrevo w(x,y+h,z):
w(x,y+h,z)=x^{2}(y+h)\cos z = x^{2}y\cos z + x^{2}h\cos z.
Agora faço a diferença do numerador da definição da derivada parcial:
w(x,y+h,z)-w(x,y,z)=\bigl(x^{2}y\cos z + x^{2}h\cos z\bigr)-x^{2}y\cos z = x^{2}h\cos z.
Dividindo por h e tomando o limite h\to0,
\frac{w(x,y+h,z)-w(x,y,z)}{h} = x^{2}\cos z \quad\longrightarrow\quad \frac{\partial w}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}\cos z.
Portanto a derivada parcial geral é \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}\cos z.

Passo 4

Uma maneira mais curta (útil em prova) é ver \,w=(x^{2}\cos z)\cdot y\,. Aqui x^{2}\cos z é apenas um fator constante quando derivamos em relação a y, e como \dfrac{d}{dy}y=1, obtém-se diretamente
\frac{\partial w}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}\cos z.
Essa observação é prática: ao derivar em relação a uma variável, trate as outras como constantes e aplique as regras usuais de derivação.

Passo 5

Agora avalio no ponto (2,1,z). Basta substituir x=2 na expressão encontrada:
\frac{\partial w}{\partial y}(2,1,z)=2^{2}\cos z = 4\cos z.
Repare que o resultado ainda depende de z — isso é normal, pois a derivada parcial em y pode depender das outras variáveis mantidas fixas.

Passo 6

Dica rápida para a prova (animação!): sempre que pedirem \partial/\partial y, faça mentalmente "segura x e z, deriva só em y". Exemplinho extra: se u= x\,y^{3}\sin z, então \partial u/\partial y = x\cdot 3y^{2}\sin z = 3xy^{2}\sin z. Isso segue a mesma ideia: trate x e \sin z como constantes.

Resposta

4\cos z

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