Seja
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial mista de ordem quatro
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da potência é a função linear
. - Quer-se derivar duas vezes em
, uma vez em e uma vez em (a ordem não importa aqui porque é suave).
Passo 2
Estratégia (o que vou aplicar): como
com
e
dependendo linearmente de
, vou aplicar a regra da cadeia repetidas vezes. Regra da cadeia para derivada parcial: se
então
Mais geralmente, ao derivar
várias vezes, cada vez que se deriva
surge um fator
e um fator
.
Passo 3
Calcular
e suas derivadas parciais simples (estas são constantes porque
é linear):
Passo 4
Primeira derivada: aplicar a regra da cadeia a
com respeito a
:
Substituindo
:
Passo 5
Segunda derivada: derivar
em relação a
. Usar que
:
Substituindo
:
Passo 6
Terceira derivada: derivar
em relação a
. Usar
:
Substituindo
:
Passo 7
Quarta derivada (mais uma em
): derivar
em relação a
. Usar
:
Substituindo
:
Passo 8
Substituir de volta
para obter a resposta em termos de
: