Seja w=(4 x-3 y+2 z)^{5}. Determine
\frac{\partial^{4} w}{\partial z^{2} \partial y \partial x}.

Passo 1

O enunciado dá a função w=(4x-3y+2z)^{5} e pede a derivada parcial mista de ordem quatro
\frac{\partial^{4} w}{\partial z^{2}\partial y\partial x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da potência é a função linear \;u(x,y,z)=4x-3y+2z.
  • Quer-se derivar duas vezes em z, uma vez em y e uma vez em x (a ordem não importa aqui porque w é suave).

Passo 2

Estratégia (o que vou aplicar): como w=f(u) com f(u)=u^{5} e u dependendo linearmente de (x,y,z), vou aplicar a regra da cadeia repetidas vezes. Regra da cadeia para derivada parcial: se w=f(u(x,y,z)) então
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial x}.
Mais geralmente, ao derivar f(u) várias vezes, cada vez que se deriva u^{n} surge um fator n e um fator \frac{\partial u}{\partial(\cdot)}.

Passo 3

Calcular u e suas derivadas parciais simples (estas são constantes porque u é linear):
u(x,y,z)=4x-3y+2z, \qquad \frac{\partial u}{\partial x}=4, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-3, \qquad \frac{\partial u}{\partial z}=2.

Passo 4

Primeira derivada: aplicar a regra da cadeia a w=u^{5} com respeito a x:
\frac{\partial w}{\partial x}=5u^{4}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Substituindo \frac{\partial u}{\partial x}=4:
\frac{\partial w}{\partial x}=5\cdot 4\,u^{4}=20\,u^{4}.

Passo 5

Segunda derivada: derivar \frac{\partial w}{\partial x}=20u^{4} em relação a y. Usar que \frac{d}{dy}u^{4}=4u^{3}\cdot u_{y}:
\frac{\partial^{2} w}{\partial y\partial x} =20\cdot 4u^{3}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo \frac{\partial u}{\partial y}=-3:
\frac{\partial^{2} w}{\partial y\partial x}=20\cdot 4\cdot(-3)\,u^{3}=-240\,u^{3}.

Passo 6

Terceira derivada: derivar \frac{\partial^{2} w}{\partial y\partial x}=-240u^{3} em relação a z. Usar \frac{d}{dz}u^{3}=3u^{2}\cdot u_{z}:
\frac{\partial^{3} w}{\partial z\partial y\partial x} =-240\cdot 3u^{2}\cdot\frac{\partial u}{\partial z}.
Substituindo \frac{\partial u}{\partial z}=2:
\frac{\partial^{3} w}{\partial z\partial y\partial x}=-240\cdot 3\cdot 2\,u^{2}=-1440\,u^{2}.

Passo 7

Quarta derivada (mais uma em z): derivar -1440u^{2} em relação a z. Usar \frac{d}{dz}u^{2}=2u\cdot u_{z}:
\frac{\partial^{4} w}{\partial z^{2}\partial y\partial x} =-1440\cdot 2u\cdot\frac{\partial u}{\partial z}.
Substituindo \frac{\partial u}{\partial z}=2:
\frac{\partial^{4} w}{\partial z^{2}\partial y\partial x}=-1440\cdot 2\cdot 2\,u=-5760\,u.

Passo 8

Substituir de volta u=4x-3y+2z para obter a resposta em termos de x,y,z:
\frac{\partial^{4} w}{\partial z^{2}\partial y\partial x}=-5760\,(4x-3y+2z).

Resposta

-5760\,(4x-3y+2z)

Exercícios relacionados