Determine o comprimento da curva dada:
r(t)=\left\langle t^{2}\right., sent \left.-t \cos t, \cos t+t \operatorname{sen} t\right\rangle, 0 \leq t \leq \pi)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=\left\langle t^{2},\,-t\cos t,\,\cos t+t\operatorname{sen} t\right\rangle,\qquad 0\le t\le \pi,
e pede o comprimento da curva no intervalo 0\le t\le\pi.
Informações fornecidas:
  • A função vetorial r(t) tem três componentes: a componente x(t)=t^{2}, a componente y(t)=-t\cos t e a componente z(t)=\cos t + t\operatorname{sen} t.
  • O parâmetro varia entre t=0 e t=\pi.
O que se deve encontrar:
  • O comprimento L da curva, isto é, o valor numérico de
L=\int_{0}^{\pi}\|r'(t)\|\,dt.

Passo 2

Relembrando a teoria (passo-a-passo, na prática da prova):
  • Para uma curva dada por r(t) com componentes diferenciáveis, o comprimento entre t=a e t=b é
L=\int_{a}^{b}\|r'(t)\|\,dt,
onde \|r'(t)\| é a norma do vetor derivada, isto é, se r'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle então
\|r'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
  • Para obter r'(t) usa-se as regras básicas de derivação: derivada de t^{2} é 2t; regra do produto: (uv)'=u'v+uv'; derivada de \cos t é -\operatorname{sen} t e de \operatorname{sen} t é \cos t.
  • Depois de obter \|r'(t)\| o próximo passo é integrar. Se a integral não tiver primitiva elementar, faz-se uma avaliação numérica razoável (regra dos trapézios, de Simpson, etc.). Na prova pode ser pedido apenas a expressão integral ou um valor aproximado, dependendo do enunciado.

Passo 3

Calcular r'(t) componente a componente, com explicação das derivadas:
  • Para x(t)=t^{2} tem-se
x'(t)=2t.
  • Para y(t)=-t\cos t aplicamos a regra do produto a -t\cdot\cos t. Seja u(t)=-t e v(t)=\cos t. Então u'(t)=-1 e v'(t)=-\operatorname{sen} t. Assim
y'(t)=u'v+uv' = (-1)\cos t + (-t)(-\operatorname{sen} t) = -\cos t + t\operatorname{sen} t.
  • Para z(t)=\cos t + t\operatorname{sen} t derivamos termo a termo. A derivada de \cos t é -\operatorname{sen} t. Para t\operatorname{sen} t usamos produto: (t\operatorname{sen} t)'=1\cdot\operatorname{sen} t + t\cdot\cos t = \operatorname{sen} t + t\cos t. Somando os termos,
z'(t) = -\operatorname{sen} t + (\operatorname{sen} t + t\cos t) = t\cos t.
Portanto
r'(t)=\left\langle 2t,\, -\cos t + t\operatorname{sen} t,\, t\cos t\right\rangle.

Passo 4

Calcular o quadrado da norma \|r'(t)\|^{2} e simplificar:
\begin{aligned} \|r'(t)\|^{2} &=(2t)^{2}+\big(-\cos t + t\operatorname{sen} t\big)^{2}+\big(t\cos t\big)^{2} \\\ &=4t^{2}+\big(\cos^{2}t -2t\operatorname{sen} t\cos t + t^{2}\operatorname{sen}^{2}t\big) + t^{2}\cos^{2}t \\\ &=4t^{2} + \cos^{2}t -2t\operatorname{sen} t\cos t + t^{2}(\operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t) \\\ &=4t^{2} + \cos^{2}t -2t\operatorname{sen} t\cos t + t^{2}\cdot 1 \\\ &=5t^{2} + \cos^{2}t -2t\operatorname{sen} t\cos t. \end{aligned}
Então
\|r'(t)\|=\sqrt{5t^{2}+\cos^{2}t - 2t\operatorname{sen} t\cos t}.
Obs.: mostrei cada passo algébrico para você poder reproduzir isso na prova sem pular linhas.

Passo 5

Montar a integral do comprimento:
L=\int_{0}^{\pi}\|r'(t)\|\,dt = \int_{0}^{\pi} \sqrt{5t^{2}+\cos^{2}t - 2t\operatorname{sen} t\cos t}\; dt.
Comentário didático: essa é a expressão exata do comprimento como uma integral definida. Nem toda integral do tipo \int\sqrt{\text{polinômio em }t + \text{funções trig}}\;dtôçõ tem primitiva elementar. Aqui o conteúdo dentro da raiz mistura termos polinomiais em t e produtos t\operatorname{sen} t\cos t, e não há uma substituição óbvia que transforme isso numa primitiva elementar conhecida. Portanto devemos avaliar numericamente se queremos um valor numérico.

Passo 6

Decidir a estratégia numérica e justificar: usar a Regra de Simpson (boa precisão com poucos subintervalos). Explico rapidamente a Regra de Simpson (para você poder usar na prova se pedirem aproximação):
  • Divida o intervalo [0,\pi] em n subintervalos de mesmo comprimento h=\dfrac{\pi-0}{n}, com n par.
  • A aproximação de Simpson é
\int_{0}^{\pi} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\Big(f(t_{0})+f(t_{n}) + 4\sum_{k\\ \text{ímpar}} f(t_{k}) + 2\sum_{k\\ \text{par},\,k\ne0,n} f(t_{k})\Big).í
  • Aqui f(t)=\|r'(t)\|.
Vou aplicar Simpson com n=10 ( h=\dfrac{\pi}{10} ), que dá boa precisão prática e é razoável para calcular “na mão” com aproximações decimais.

Passo 7

Computar os valores de f(t)=\sqrt{5t^{2}+\cos^{2}t - 2t\operatorname{sen} t\cos t} nos pontos t_{k}=k\cdot\dfrac{\pi}{10}, para k=0,\dots,10.
(segue-se cálculo numérico aproximado; cada número é obtido usando as aproximações usuais de \operatorname{sen} e \cos e aritmética decimal)
  • t_{0}=0: f(t_{0})=\sqrt{1}=1,00000.
  • t_{1}=\dfrac{\pi}{10}\approx 0,314159: f(t_{1})\approx 1,10145.
  • t_{2}=\dfrac{2\pi}{10}\approx 0,628319: f(t_{2})\approx 1,42500.
  • t_{3}=\dfrac{3\pi}{10}\approx 0,942478: f(t_{3})\approx 1,97300.
  • t_{4}=\dfrac{4\pi}{10}\approx 1,256637: f(t_{4})\approx 2,69228.
  • t_{5}=\dfrac{5\pi}{10}=\dfrac{\pi}{2}\approx 1,570796: f(t_{5})\approx 3,51100.
  • t_{6}=\dfrac{6\pi}{10}\approx 1,884956: f(t_{6})\approx 4,35400.
  • t_{7}=\dfrac{7\pi}{10}\approx 2,199115: f(t_{7})\approx 5,15900.
  • t_{8}=\dfrac{8\pi}{10}\approx 2,513274: f(t_{8})\approx 5,88600.
  • t_{9}=\dfrac{9\pi}{10}\approx 2,827433: f(t_{9})\approx 6,52100.
  • t_{10}=\pi\approx 3,141593: f(t_{10})=\sqrt{5\pi^{2}+1}\approx 7,09500.
(Expliquei os valores principais; se quiser eu mostro a conta de cada entrada detalhadamente, mas a ideia é usar essas aproximações para a regra de Simpson.)

Passo 8

Aplicar a Regra de Simpson com h=\dfrac{\pi}{10} e os valores calculados:
L \approx \frac{h}{3}\Big(f_{0}+f_{10}+4(f_{1}+f_{3}+f_{5}+f_{7}+f_{9})+2(f_{2}+f_{4}+f_{6}+f_{8})\Big).
Substituindo os valores aproximados:
  • Soma dos termos ímpares f_{1}+f_{3}+f_{5}+f_{7}+f_{9}\approx 18,26545.
  • Soma dos termos pares internos f_{2}+f_{4}+f_{6}+f_{8}\approx 14,35728.
  • f_{0}+f_{10}\approx 1,00000+7,09500=8,09500.
  • h=\dfrac{\pi}{10}, então \dfrac{h}{3}=\dfrac{\pi}{30}\approx 0,10471976.
Calculando:
\begin{aligned} L &\approx 0,10471976\cdot\big(8,09500 + 4\cdot 18,26545 + 2\cdot 14,35728\big) \\\ &\approx 0,10471976\cdot 109,87136 \\\ &\approx 11,512. \end{aligned}

Passo 9

Interpretação do resultado e verificação rápida:
  • A integral não possui primitiva elementar simples, por isso a aproximação numérica é o procedimento correto para obter um valor numérico.
  • Com n=10 na Regra de Simpson obtivemos L\approx 11,512. Esse valor tem precisão razoável; se for necessário mais precisão pode-se aumentar n (por exemplo n=20 ou usar um computador/calculadora simbólica para integração numérica mais refinada).
  • Você pode reportar o comprimento com duas casas decimais como L\approx 11,51.
Força — você já tem a técnica para a prova: derivar cada componente, montar \|r'(t)\|, simplificar e, se não houver primitiva, aproximar com Simpson (ou outro método numérico).

Resposta

L\approx 11,51

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