Determine o comprimento da curva dada:
, sent \left.-t \cos t, \cos t+t \operatorname{sen} t\right\rangle, 0 \leq t \leq \pi)
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede o comprimento da curva no intervalo
.
Informações fornecidas:
- A função vetorial
tem três componentes: a componente , a componente e a componente . - O parâmetro varia entre
e .
O que se deve encontrar:
- O comprimento
da curva, isto é, o valor numérico de
Passo 2
Relembrando a teoria (passo-a-passo, na prática da prova):
- Para uma curva dada por
com componentes diferenciáveis, o comprimento entre e é
onde
é a norma do vetor derivada, isto é, se
então
- Para obter
usa-se as regras básicas de derivação: derivada de é ; regra do produto: ; derivada de é e de é . - Depois de obter
o próximo passo é integrar. Se a integral não tiver primitiva elementar, faz-se uma avaliação numérica razoável (regra dos trapézios, de Simpson, etc.). Na prova pode ser pedido apenas a expressão integral ou um valor aproximado, dependendo do enunciado.
Passo 3
Calcular
componente a componente, com explicação das derivadas:
- Para
tem-se
- Para
aplicamos a regra do produto a . Seja e . Então e . Assim
- Para
derivamos termo a termo. A derivada de é . Para usamos produto: . Somando os termos,
Portanto
Passo 4
Calcular o quadrado da norma
e simplificar:
Então
Obs.: mostrei cada passo algébrico para você poder reproduzir isso na prova sem pular linhas.
Passo 5
Montar a integral do comprimento:
Comentário didático: essa é a expressão exata do comprimento como uma integral definida. Nem toda integral do tipo
tem primitiva elementar. Aqui o conteúdo dentro da raiz mistura termos polinomiais em
e produtos
, e não há uma substituição óbvia que transforme isso numa primitiva elementar conhecida. Portanto devemos avaliar numericamente se queremos um valor numérico.
Passo 6
Decidir a estratégia numérica e justificar: usar a Regra de Simpson (boa precisão com poucos subintervalos). Explico rapidamente a Regra de Simpson (para você poder usar na prova se pedirem aproximação):
- Divida o intervalo
em subintervalos de mesmo comprimento , com par. - A aproximação de Simpson é
- Aqui
.
Vou aplicar Simpson com
(
), que dá boa precisão prática e é razoável para calcular “na mão” com aproximações decimais.
Passo 7
Computar os valores de
nos pontos
, para
.
(segue-se cálculo numérico aproximado; cada número é obtido usando as aproximações usuais de e
e aritmética decimal)
(segue-se cálculo numérico aproximado; cada número é obtido usando as aproximações usuais de
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
(Expliquei os valores principais; se quiser eu mostro a conta de cada entrada detalhadamente, mas a ideia é usar essas aproximações para a regra de Simpson.)
Passo 8
Aplicar a Regra de Simpson com
e os valores calculados:
Substituindo os valores aproximados:
- Soma dos termos ímpares
. - Soma dos termos pares internos
. -
. -
, então .
Calculando:
Passo 9
Interpretação do resultado e verificação rápida:
- A integral não possui primitiva elementar simples, por isso a aproximação numérica é o procedimento correto para obter um valor numérico.
- Com
na Regra de Simpson obtivemos . Esse valor tem precisão razoável; se for necessário mais precisão pode-se aumentar (por exemplo ou usar um computador/calculadora simbólica para integração numérica mais refinada). - Você pode reportar o comprimento com duas casas decimais como
.
Força — você já tem a técnica para a prova: derivar cada componente, montar
, simplificar e, se não houver primitiva, aproximar com Simpson (ou outro método numérico).