Seja
. Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a derivada parcial mista
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função interna é
. - A função composta é
com . - A quantidade pedida é a derivada mista
(ou seja, derivar primeiro em relação a e depois em relação a ).
Passo 2
Vamos revisar a regra que precisamos: regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática).
- Se
, então a derivada parcial de em relação a uma variável (por exemplo ) é dada por
Aqui
é a derivada de
avaliada em
, e
é a derivada parcial da função interna
em relação a
.
- No nosso caso:
então
E a função interna é
, cujas derivadas parciais são fáceis de calcular:
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
usando a regra da cadeia:
Substituindo
temos
Passo 4
Agora derivamos essa expressão em relação a
. Novamente aplicamos a regra da cadeia (a expressão é
vezes
):
- A derivada de
em relação a é . - Logo
Substituindo
obtemos
Passo 5
Verificação rápida (opcional, para ficar seguro): derivando primeiro em
e depois em
(espera-se o mesmo resultado pela igualdade das derivadas mistas quando as segundas derivadas são contínuas):
-
. -
.
Confere com o resultado anterior.