Seja w=(4 x-3 y+2 z)^{5}. Determine
\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial z}

Passo 1

O enunciado dá a função \,w=(4x-3y+2z)^{5}\, e pede para determinar a derivada parcial mista \dfrac{\partial^{2}w}{\partial x\partial z}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função interna é \,u(x,y,z)=4x-3y+2z.
  • A função composta é \,w=f(u) com \,f(t)=t^{5}.
  • A quantidade pedida é a derivada mista \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial w}{\partial z}\right) (ou seja, derivar primeiro em relação a z e depois em relação a x).

Passo 2

Vamos revisar a regra que precisamos: regra da cadeia para derivadas parciais (explicação didática).
  • Se \,w=f(u(x,y,z)), então a derivada parcial de w em relação a uma variável (por exemplo z) é dada por
\frac{\partial w}{\partial z}=f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial z}.
Aqui f'(u) é a derivada de f avaliada em u, e \dfrac{\partial u}{\partial z} é a derivada parcial da função interna u em relação a z.
  • No nosso caso: f(t)=t^{5} então
f'(t)=5t^{4}.
E a função interna é u=4x-3y+2z, cujas derivadas parciais são fáceis de calcular:
\frac{\partial u}{\partial z}=2,\qquad \frac{\partial u}{\partial x}=4.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a z usando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial z}=f'(u)\,\frac{\partial u}{\partial z}=5u^{4}\cdot 2=10u^{4}.
Substituindo \,u=4x-3y+2z\, temos
\frac{\partial w}{\partial z}=10(4x-3y+2z)^{4}.

Passo 4

Agora derivamos essa expressão em relação a x. Novamente aplicamos a regra da cadeia (a expressão é 10 vezes (u)^{4}):
  • A derivada de (u)^{4} em relação a x é 4u^{3}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Logo
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(10u^{4}\right)=10\cdot 4u^{3}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=40u^{3}\cdot 4=160u^{3}.
Substituindo \,u=4x-3y+2z\, obtemos
\frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial z}=160(4x-3y+2z)^{3}.

Passo 5

Verificação rápida (opcional, para ficar seguro): derivando primeiro em x e depois em z (espera-se o mesmo resultado pela igualdade das derivadas mistas quando as segundas derivadas são contínuas):
  • \dfrac{\partial w}{\partial x}=5u^{4}\cdot 4=20u^{4}.
  • \dfrac{\partial}{\partial z}\left(20u^{4}\right)=20\cdot 4u^{3}\cdot 2=160u^{3}.
    Confere com o resultado anterior.

Resposta

160(4x-3y+2z)^{3}

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