Numa P.G., a_{1}=\frac{25 a^{2}}{4\left(a^{2}+1\right)} e a_{4}=\frac{2\left(a^{2}+1\right)^{2}}{5 a}, com a>0. Estabeleça:
a) o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) o limite da soma dos termos para \mathrm{q}=\mathrm{a}-\frac{1}{5}.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
a>0.
O primeiro termo da P.G. é a_{1}=\dfrac{25a^{2}}{4\left(a^{2}+1\right)}.
O quarto termo da P.G. é a_{4}=\dfrac{2\left(a^{2}+1\right)^{2}}{5a}.
O enunciado pede:
a) Determinar o conjunto de valores de a para os quais a P.G. é decrescente.
b) Calcular o limite da soma dos termos (ou seja, a soma infinita, quando ela existir) no caso em que q = a - \dfrac{1}{5}.
Observação importante (para usar depois): numa P.G. com razão q e primeiro termo a_{1}, vale sempre
a_{n}=a_{1}q^{\,n-1}.
Passo 2
Vou achar a razão q da P.G. a partir dos dados a_{1} e a_{4}.
Da fórmula da P.G. para o quarto termo temos
a_{4}=a_{1}q^{3}.
Logo
q^{3}=\frac{a_{4}}{a_{1}}.
Substituindo as expressões fornecidas para a_{1} e a_{4}:
Tomo a raiz cúbica dos dois lados (como a>0 tudo é positivo, a raiz cúbica dá a razão q positiva):
q=\frac{2}{5}\cdot\frac{a^{2}+1}{a}.
Observação prática: \dfrac{a^{2}+1}{a}=a+\dfrac{1}{a}, então é mais curto escrever
q=\frac{2}{5}\Bigl(a+\frac{1}{a}\Bigr).
Passo 3
Vou usar a expressão de q para atacar a parte (a): quando a P.G. é decrescente?
Primeiro, verificar o sinal de a_{1} e de q. Como a>0, temos
a_{1}=\frac{25a^{2}}{4(a^{2}+1)}>0.
E, como a>0, também a+\dfrac{1}{a}>0, então
q=\frac{2}{5}\Bigl(a+\frac{1}{a}\Bigr)>0.
Para uma P.G. com termos positivos (aqui a_{1}>0 e q>0), a sequência é estritamente decrescente exatamente quando 0<q<1. (Explicação curta: se 0<q<1 então cada termo é menor que o anterior porque multiplica por um fator menor que 1; se q>1 os termos crescem; se q=1 é constante.)
Portanto a condição para ser decrescente é
0<q<1.
Já sabemos que q>0, então basta impor q<1. Usando a expressão que achamos,
\frac{2}{5}\Bigl(a+\frac{1}{a}\Bigr)<1.
Multiplicando por 5 e por a>0 (permitido sem mudar o sentido da desigualdade):
Como o coeficiente de a^{2} é positivo, a parábola abre para cima, logo a desigualdade 2a^{2}-5a+2<0 é satisfeita para a entre as raízes:
\frac{1}{2}<a<2.
Conclusão da parte (a): a P.G. é decrescente para
a\in\left(\tfrac{1}{2},2\right).
Obs.: em a=\tfrac{1}{2} ou a=2 tem q=1 (sequência constante), e para a>2 ou 0<a<\tfrac{1}{2} tem q>1 (sequência crescente).
Passo 4
Agora a parte (b). Eles indicam considerar q=a-\dfrac{1}{5}. Interpreto a questão como: usando essa expressão para q, determinar o limite da soma dos termos (isto é, a soma infinita da P.G.) quando ela existir. Vou explicar a fórmula que precisamos usar.
Para uma P.G. de primeiro termo a_{1} e razão q, a soma parcial dos n primeiros termos é