Seja
(conj. dos números reais),
fixo e
dada por
Enuncie o Teorema de recursão e, neste caso, encontre a fórmula geral da recorrência
garantida por ele.
Calcule o limite
.
Passo 1
O enunciado fixa o conjunto
, um valor inicial
e a função
Pede para enunciar o Teorema de Recursão (ou Princípio da Definição Recursiva em
), usar esse teorema para definir uma sequência
e, por fim, calcular
.
Passo 2
Teorema de Recursão em
:
Seja um conjunto,
e
. Então existe uma única função
Seja
tal que
Passo 3
Aplicando ao caso
, a recursão fica
Para achar a fórmula geral, use indução em
:
Base
:
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo, por indução,
Passo 4
Para calcular o limite, observe que
quando
. Assim,