Seja o conjunto
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que, de fato, todo natural satisfaz essa igualdade, ou seja,
.
O que vamos usar é o princípio de indução sobre e as duas cláusulas que definem a adição nos números de Peano:
O que vamos usar é o princípio de indução sobre
- Para todo
,
- Para todo
,
Passo 2
Verificamos o caso base
. Precisamos checar que
Mas isso é imediato pela cláusula 1:
. Logo
.
Passo 3
Agora, suponha indutivamente que um certo
satisfaça
Queremos mostrar que então
, isto é,
Pela cláusula 1 da definição de adição,
Por outro lado, pela cláusula 2 com
e
,
Pela hipótese indutiva
, segue
Concluímos então
isto é,
.
Resposta
Como
e
é fechado para sucessores, pelo princípio da indução segue
.