Seja X=\mathbb{R} (conj. dos números reais), a \in \mathbb{R} fixo e f: X \longrightarrow X dada por
f(x)=\frac{x}{2} .
Enuncie o Teorema de recursão e, neste caso, encontre a fórmula geral da recorrência u: \omega \longrightarrow \mathbb{R} garantida por ele.
Calcule o limite \lim _{n \rightarrow \infty} u(n).

Passo 1

O enunciado fixa o conjunto X=\mathbb{R}, um valor inicial a\in\mathbb{R} e a função
f\colon X\to X,\quad f(x)=\tfrac{x}{2}.
Pede para enunciar o Teorema de Recursão (ou Princípio da Definição Recursiva em \omega), usar esse teorema para definir uma sequência u\colon \omega\to\mathbb{R} e, por fim, calcular \lim_{n\to\infty}u(n).

Passo 2

Teorema de Recursão em \omega:
Seja X um conjunto, a\in X e f\colon X\to X. Então existe uma única função
u\colon \omega\to X
tal que
u(0)=a \quad\text{e}\quad \forall n\in\omega:\;u(n+1)=f\bigl(u(n)\bigr).

Passo 3

Aplicando ao caso f(x)=\tfrac{x}{2}, a recursão fica
u(0)=a, \qquad u(n+1)=\tfrac{1}{2}\,u(n).
Para achar a fórmula geral, use indução em n:
Base n=0:
u(0)=a = a\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^0.
Passo indutivo: suponha u(k)=a\cdot(\tfrac12)^k. Então
u(k+1)=\tfrac12\,u(k) =\tfrac12\cdot\bigl[a\cdot(\tfrac12)^k\bigr] =a\cdot(\tfrac12)^{k+1}.
Logo, por indução,
u(n)=a\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^n.

Passo 4

Para calcular o limite, observe que \bigl(\tfrac12\bigr)^n\to0 quando n\to\infty. Assim,
\lim_{n\to\infty}u(n) =\lim_{n\to\infty}\!a\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^n =a\cdot0 =0.

Resposta

\displaystyle u(n)=a\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^n e \displaystyle \lim_{n\to\infty}u(n)=0.

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