(6.0 pontos) Encontre o domínio e as assíntotas verticais e horizontais da função f(x)=\frac{12}{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\dfrac{12}{x} e pede:
  • Encontrar o domínio de f.
  • Determinar as assíntotas verticais de f.
  • Determinar as assíntotas horizontais de f.
As informações fornecidas são apenas a fórmula da função f(x)=\dfrac{12}{x}.

Passo 2

Domínio: lembrar a regra básica para funções racionais: não se pode dividir por zero. Aqui o denominador é x. Portanto devemos excluir os valores de x que anulam o denominador.
Resolver x=0 0, que torna a expressão indefinida. Logo o domínio são todos os reais exceto 0.
Em notação:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Definição prática de assíntota vertical: uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais diverge para infinito ao aproximar x de a; isto é, se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\pm\infty\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to a^+} f(x)=\pm\infty.
No nosso caso, o único ponto que poderia gerar assíntota vertical é x=0 (porque é o único ponto excluído do domínio).

Passo 4

Calcular os limites laterais em x=0.
Para x\to 0^+ (ou seja, x é um número positivo muito pequeno), o quociente \dfrac{12}{x} é positivo e cresce sem limite. Logo
\lim_{x\to 0^+}\dfrac{12}{x}=+\infty.
Para x\to 0^- (ou seja, x é um número negativo com pequena magnitude), o quociente \dfrac{12}{x} é negativo com valor absoluto muito grande. Logo
\lim_{x\to 0^-}\dfrac{12}{x}=-\infty.
Como pelo menos uma das duas (na verdade ambas) divergem em sinal, concluímos que x=0 é uma assíntota vertical.

Passo 5

Definição prática de assíntota horizontal: uma reta horizontal y=L é assíntota horizontal de f se
\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\quad\text{ou}\quad \lim_{x\to -\infty} f(x)=L.
Calcular \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{12}{x}. Uma maneira simples é observar que \dfrac{12}{x}=12\cdot \dfrac{1}{x} e sabe-se que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to\pm\infty. Portanto
\lim_{x\to +\infty}\dfrac{12}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to -\infty}\dfrac{12}{x}=0.
Assim y=0 é assíntota horizontal.

Passo 6

Resumo do comportamento e uma dica rápida para a prova (mastigada!):
  • Para uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} com p e q polinômios, um critério rápido para assíntota horizontal é comparar os graus:
    • Se \deg p<\deg q então y=0 é assíntota horizontal.
    • Se \deg p=\deg q então a assíntota horizontal é y= razão dos coeficientes dominantes.
    • Se \deg p>\deg q normalmente não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
  • No nosso caso \deg(12)=0<\deg(x)=1, então já era de se esperar y=0.
Exemplo curto: \dfrac{2x+1}{x}=2+\dfrac{1}{x} tem assíntota horizontal y=2 porque o termo dominante dá 2.

Passo 7

Encerrando: domínio encontrado por evitar divisão por zero; assíntota vertical em x=0 porque os limites laterais divergem; assíntota horizontal em y=0 porque os limites no infinito valem zero. Força aí — essa é uma das funções racionais mais simples e cai bem em prova para testar conceitos de domínio e assíntotas.

Resposta

\text{Domínio: }\mathbb{R}\setminus\{0\}í
\text{Assíntota vertical: }x=0í
\text{Assíntota horizontal: }y=0í

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