(6.0 pontos) Encontre o domínio e as assíntotas verticais e horizontais da função
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
- Encontrar o domínio de
. - Determinar as assíntotas verticais de
. - Determinar as assíntotas horizontais de
.
As informações fornecidas são apenas a fórmula da função
.
Passo 2
Domínio: lembrar a regra básica para funções racionais: não se pode dividir por zero. Aqui o denominador é
. Portanto devemos excluir os valores de
que anulam o denominador.
Resolver
dá
, que torna a expressão indefinida. Logo o domínio são todos os reais exceto
.
Em notação:
Passo 3
Definição prática de assíntota vertical: uma reta vertical
é assíntota vertical de
se pelo menos uma das limites laterais diverge para infinito ao aproximar
de
; isto é, se
No nosso caso, o único ponto que poderia gerar assíntota vertical é
(porque é o único ponto excluído do domínio).
Passo 4
Calcular os limites laterais em
.
Para
(ou seja,
é um número positivo muito pequeno), o quociente
é positivo e cresce sem limite. Logo
Para
(ou seja,
é um número negativo com pequena magnitude), o quociente
é negativo com valor absoluto muito grande. Logo
Como pelo menos uma das duas (na verdade ambas) divergem em sinal, concluímos que
é uma assíntota vertical.
Passo 5
Definição prática de assíntota horizontal: uma reta horizontal
é assíntota horizontal de
se
Calcular
. Uma maneira simples é observar que
e sabe-se que
quando
. Portanto
Assim
é assíntota horizontal.
Passo 6
Resumo do comportamento e uma dica rápida para a prova (mastigada!):
- Para uma função racional
com e polinômios, um critério rápido para assíntota horizontal é comparar os graus: - Se
então é assíntota horizontal. - Se
então a assíntota horizontal é razão dos coeficientes dominantes. - Se
normalmente não há assíntota horizontal (pode haver oblíqua).
- Se
- No nosso caso
, então já era de se esperar .
Exemplo curto:
tem assíntota horizontal
porque o termo dominante dá
.
Passo 7
Encerrando: domínio encontrado por evitar divisão por zero; assíntota vertical em
porque os limites laterais divergem; assíntota horizontal em
porque os limites no infinito valem zero. Força aí — essa é uma das funções racionais mais simples e cai bem em prova para testar conceitos de domínio e assíntotas.