Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
y(t)=\cos (3 t) x^{2}(t)

Passo 1

O sistema é dado por
y(t)=\cos(3t)\,[x(t)]^{2}.
Queremos verificar duas propriedades importantes de sistemas:
  1. Linearidade, isto é, se vale superposição (aditividade + homogeneidade).
  2. Causalidade, ou seja, se y(t) depende apenas de valores de x(\tau) para \tau\le t.

Passo 2

Teste de linearidade. Seja x_{1}(t) e x_{2}(t) duas entradas quaisquer e a um escalar. Definimos
y_{1}(t)=\cos(3t)\,[x_{1}(t)]^{2}, \quad y_{2}(t)=\cos(3t)\,[x_{2}(t)]^{2}.
Para aditividade, o sistema deveria satisfazer
S[x_{1}+x_{2}](t) \stackrel{?}{=} y_{1}(t)+y_{2}(t).
Porém,
S[x_{1}+x_{2}](t) =\cos(3t)\,\bigl[x_{1}(t)+x_{2}(t)\bigr]^{2} \neq \cos(3t)\,x_{1}^{2}(t) + \cos(3t)\,x_{2}^{2}(t) =y_{1}(t)+y_{2}(t).
Portanto falha a aditividade (e consequentemente a homogeneidade), logo o sistema não é linear.

Passo 3

Teste de causalidade. Por definição, um sistema é causal se, para todo t_{0}, y(t_{0}) depende apenas de x(\tau) com \tau \le t_{0}. Aqui
y(t_{0})=\cos(3t_{0})\,[x(t_{0})]^{2}
depende unicamente de x no mesmo instante t_{0} (e não de instantes futuros t>t_{0}). Logo, o sistema é causal.

Resposta

O sistema y(t)=\cos(3t)\,[x(t)]^{2} é não linear e causal.

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