Seja x(n) um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída y(n) com o sinal de entrada x(n), são lineares e/ou causais:
y(n)=x(-n)

Passo 1

O enunciado dá o sistema discreto
y(n)=x(-n)
e pede para verificar se ele é linear e se é causal. Vamos usar as definições padrão de linearidade e de causalidade em sistemas lineares de tempo discreto.

Passo 2

Verificação de linearidade. Seja x_1(n) com saída y_1(n)=x_1(-n) e x_2(n) com saída y_2(n)=x_2(-n). Para uma combinação linear x(n)=a\,x_1(n)+b\,x_2(n), a saída será
T\{x\}(n) = (a\,x_1+b\,x_2)(-n) = a\,x_1(-n)+b\,x_2(-n) = a\,y_1(n)+b\,y_2(n).
Isso mostra que o sistema preserva soma e escala, logo é linear.

Passo 3

Verificação de causalidade. Um sistema é causal se, para qualquer instante n_0, a saída y(n_0) depende apenas de entradas x(k) para k\le n_0. Aqui
y(n_0)=x(-n_0).
– Se n_0<0, então -n_0>n_0, ou seja, y(n_0) depende de x(k) para k=-n_0>n_0, ou seja, de valores “futuros” de x.
Logo o sistema não é causal.

Passo 4

(Bônus) Verificação de invariância no tempo. Para ver se é invariante, aplicamos um atraso n_1 na entrada:
T\{x(n-n_1)\}(n)=x\bigl(-(n)\,-n_1\bigr)=x\bigl(-n-n_1\bigr),
mas atrasar a saída de y(n)=x(-n) daria
y(n-n_1)=x\bigl(-(n-n_1)\bigr)=x\bigl(-n+n_1\bigr).
Como x(-n-n_1)\neq x(-n+n_1) em geral, o sistema não é invariante no tempo.

Resposta

O sistema y(n)=x(-n) é linear e não causal.

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