Seja
um sinal linear, causal e invariante no tempo. Avalie os sistemas abaixo, que relacionam a saída
com o sinal de entrada
, são lineares e/ou causais:
Passo 1
O enunciado dá o sistema discreto
e pede para verificar se ele é linear e se é causal. Vamos usar as definições padrão de linearidade e de causalidade em sistemas lineares de tempo discreto.
Passo 2
Verificação de linearidade. Seja
com saída
e
com saída
. Para uma combinação linear
, a saída será
Isso mostra que o sistema preserva soma e escala, logo é linear.
Passo 3
Verificação de causalidade. Um sistema é causal se, para qualquer instante
, a saída
depende apenas de entradas
para
. Aqui
– Se
, então
, ou seja,
depende de
para
, ou seja, de valores “futuros” de
.
Logo o sistema não é causal.
Logo o sistema não é causal.
Passo 4
(Bônus) Verificação de invariância no tempo. Para ver se é invariante, aplicamos um atraso
na entrada:
mas atrasar a saída de
daria
Como
em geral, o sistema não é invariante no tempo.
Resposta
O sistema
é linear e não causal.