Seja (X, \preceq) um conjunto parcialmente ordenado e A \subset X.
a) Explique o que quer dizer: " x \in X é cota superior de A ".
b) Explique a diferença entre máximo e supremo de um conjunto.
c) Mostre que se x é cota superior de A e x \in A então x é máximo de A.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Temos um conjunto parcialmente ordenado (X,\preceq) e um subconjunto A\subset X. O enunciado faz três perguntas:\n
a) Explique o que quer dizer: " x\in X é cota superior de A".\n
b) Explique a diferença entre máximo e supremo de um conjunto.\n
c) Mostre que se x é cota superior de A e x\in A então x é máximo de A.\n
Informações dadas explícitas: (X,\preceq) é uma ordem parcial e A\subset X. Não há informações adicionais sobre completude, cadeia, nem sobre se \preceq é total.\n

Passo 2

Definição e interpretação de “cota superior”:\n
Primeiro vamos dar a definição formal e depois explicar de um jeito simples. Dizemos que x\in X é uma cota superior (ou limite superior) de A quando vale a condição abaixo:
\forall a\in A,\; a\preceq x.
Em palavras: x é maior ou igual a todo elemento de A segundo a ordem \preceq. Pense nisso como uma “tampa” que fica acima de todos os elementos de A.\n
Exemplo concreto para entender: em (\mathbb{R},\le), se A=[0,2] então 2 é cota superior porque para todo a\in[0,2] temos a\le 2. Outro exemplo: se A=(0,1), então qualquer x\ge 1 é cota superior; o número 1 é a menor dessas cotas superiores, mas isso entra na parte do supremo.\n

Passo 3

Definição de máximo (com explicação passo a passo):\n
Um elemento m\in A é máximo de A se satisfaz:
m\in A\quad\text{e}\quad \forall a\in A,\; a\preceq m.
Ou seja, o máximo é um elemento de A que é maior ou igual a todos os outros elementos de A. Importante: exigimos explicitamente que o máximo pertença a A.\n
Para fixar: em (\mathbb{R},\le) com A=\{1,2,3\}, o máximo é 3 porque 3\in A e 1\le 3,\,2\le 3,\,3\le 3.\n

Passo 4

Definição de supremo (least upper bound) e explicação detalhada:\n
O supremo (ou ínfimo superior, “least upper bound”) de A é um elemento s\in X que satisfaz duas condições:\n
  1. s é cota superior de A: \forall a\in A,\; a\preceq s.\n
  2. s é a menor entre as cotas superiores: para toda cota superior y\in X de A vale s\preceq y.\n
    Escrito em símbolos:
s\text{ é supremo de }A \iff \Big(\forall a\in A,\; a\preceq s\Big)\\ \text{e}\\ \Big(\forall y\in X,\; (\forall a\in A,\; a\preceq y)\Rightarrow s\preceq y\Big).é
Em palavras: o supremo é uma cota superior, e nenhuma outra cota superior é estritamente menor que ele (na ordem \preceq).\n
Exemplo para fixar a intuição: em (\mathbb{R},\le) com A=(0,1), o número 1 é supremo porque é cota superior e qualquer outra cota superior y satisfaz 1\le y. Note que 1\notin A aqui, então não existe máximo em A, mas o supremo existe.\n

Passo 5

Diferença entre máximo e supremo — explicação clara e exemplos:\n
Principais diferenças:\n
  • Pertença a A: o máximo deve pertencer a A; o supremo pode ou não pertencer a A.\n
  • Condição de mínima cota: o supremo é a menor entre as cotas superiores (uma propriedade de ordem em X); o máximo é apenas um elemento de A que domina A. Se houver um máximo, ele é automaticamente uma cota superior mínima, logo é também o supremo.\n
    Consequências úteis (que convém decorar para a prova):\n
  • Se m é máximo de A, então m é supremo de A. Porque m\in A e domina A, e qualquer outra cota superior y também satisfaz m\preceq y (já que y domina todo A incluindo m).\n
  • Se s é supremo de A e além disso s\in A, então s é máximo de A. Ou seja, supremo que pertence a A vira máximo.\n
    Exemplos para fixar:\n
  • A=(0,1) em (\mathbb{R},\le): supremo 1 (não pertence a A), não existe máximo.\n
  • A=[0,1] em (\mathbb{R},\le): supremo 1 e máximo 1 (a mesma coisa porque o supremo pertence a A).\n

Passo 6

Prova da afirmação pedida em (c) — passo a passo e didática:\n
Queremos mostrar: se x é cota superior de A e x\in A então x é máximo de A.\n
  1. Relembrando a definição de cota superior: x é cota superior significa
\forall a\in A,\; a\preceq x.
  1. A definição de máximo exige duas coisas: (i) que o candidato pertença a A e (ii) que ele domine todos os elementos de A, isto é
x\in A\quad\text{e}\quad \forall a\in A,\; a\preceq x.
  1. Pelas hipóteses do enunciado temos exatamente essas duas propriedades: a hipótese diz que x é cota superior (isto dá \forall a\in A,\; a\preceq x) e também que x\in A. Portanto x satisfaz a definição de máximo.\n
    Conclusão lógica: pelas definições, as hipóteses implicam diretamente que x é máximo de A. Essa demonstração é curta porque a afirmação é essencialmente uma verificação direta das definições.\n

Passo 7

Resumo final rápido e um empurrãozinho de ânimo:\n
Você já tem as definições essenciais e uma prova direta para (c). Na prova basta escrever: “pelas hipóteses \forall a\in A,\; a\preceq x e x\in A. Portanto x satisfaz a definição de máximo, logo é máximo.” Vai dar tudo certo na prova — repete esses argumentos e decora as definições com um ou dois exemplos e você segura a questão.\n

Resposta

a) x\in X é cota superior de A se, e somente se, \forall a\in A,\; a\preceq x.\n
b) Máximo é um elemento m\in A tal que \forall a\in A,\; a\preceq m. Supremo (least upper bound) é um elemento s\in X que é cota superior de A e satisfaz \forall y\in X,\;((\forall a\in A,\; a\preceq y)\Rightarrow s\preceq y). Diferença prática: o máximo deve pertencer a A; o supremo pode não pertencer a A. Se há máximo, ele é o supremo; se o supremo pertence a A, então é máximo.\n
c) Se x é cota superior de A ( \forall a\in A,\; a\preceq x) e x\in A, então, por definição, x é máximo de A.

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