Seja
um conjunto parcialmente ordenado e
.
a) Explique o que quer dizer: "
é cota superior de
".
b) Explique a diferença entre máximo e supremo de um conjunto.
c) Mostre que se
é cota superior de
e
então
é máximo de
.
a) Explique o que quer dizer: "
b) Explique a diferença entre máximo e supremo de um conjunto.
c) Mostre que se
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Temos um conjunto parcialmente ordenado e um subconjunto
. O enunciado faz três perguntas:\n
a) Explique o que quer dizer: " é cota superior de
".\n
b) Explique a diferença entre máximo e supremo de um conjunto.\n
c) Mostre que se é cota superior de
e
então
é máximo de
.\n
Informações dadas explícitas: é uma ordem parcial e
. Não há informações adicionais sobre completude, cadeia, nem sobre se
é total.\n
Temos um conjunto parcialmente ordenado
a) Explique o que quer dizer: "
b) Explique a diferença entre máximo e supremo de um conjunto.\n
c) Mostre que se
Informações dadas explícitas:
Passo 2
Definição e interpretação de “cota superior”:\n
Primeiro vamos dar a definição formal e depois explicar de um jeito simples. Dizemos que é uma cota superior (ou limite superior) de
quando vale a condição abaixo:
Primeiro vamos dar a definição formal e depois explicar de um jeito simples. Dizemos que
Em palavras:
é maior ou igual a todo elemento de
segundo a ordem
. Pense nisso como uma “tampa” que fica acima de todos os elementos de
.\n
Exemplo concreto para entender: em , se
então
é cota superior porque para todo
temos
. Outro exemplo: se
, então qualquer
é cota superior; o número
é a menor dessas cotas superiores, mas isso entra na parte do supremo.\n
Exemplo concreto para entender: em
Passo 3
Definição de máximo (com explicação passo a passo):\n
Um elemento é máximo de
se satisfaz:
Um elemento
Ou seja, o máximo é um elemento de
que é maior ou igual a todos os outros elementos de
. Importante: exigimos explicitamente que o máximo pertença a
.\n
Para fixar: em com
, o máximo é
porque
e
.\n
Para fixar: em
Passo 4
Definição de supremo (least upper bound) e explicação detalhada:\n
O supremo (ou ínfimo superior, “least upper bound”) de é um elemento
que satisfaz duas condições:\n
O supremo (ou ínfimo superior, “least upper bound”) de
-
é cota superior de : .\n -
é a menor entre as cotas superiores: para toda cota superior de vale .\n
Escrito em símbolos:
Em palavras: o supremo é uma cota superior, e nenhuma outra cota superior é estritamente menor que ele (na ordem
).\n
Exemplo para fixar a intuição: em com
, o número
é supremo porque é cota superior e qualquer outra cota superior
satisfaz
. Note que
aqui, então não existe máximo em
, mas o supremo existe.\n
Exemplo para fixar a intuição: em
Passo 5
Diferença entre máximo e supremo — explicação clara e exemplos:\n
Principais diferenças:\n
Principais diferenças:\n
- Pertença a
: o máximo deve pertencer a ; o supremo pode ou não pertencer a .\n - Condição de mínima cota: o supremo é a menor entre as cotas superiores (uma propriedade de ordem em
); o máximo é apenas um elemento de que domina . Se houver um máximo, ele é automaticamente uma cota superior mínima, logo é também o supremo.\n
Consequências úteis (que convém decorar para a prova):\n - Se
é máximo de , então é supremo de . Porque e domina , e qualquer outra cota superior também satisfaz (já que domina todo incluindo ).\n - Se
é supremo de e além disso , então é máximo de . Ou seja, supremo que pertence a vira máximo.\n
Exemplos para fixar:\n -
em : supremo (não pertence a ), não existe máximo.\n -
em : supremo e máximo (a mesma coisa porque o supremo pertence a ).\n
Passo 6
Prova da afirmação pedida em (c) — passo a passo e didática:\n
Queremos mostrar: se é cota superior de
e
então
é máximo de
.\n
Queremos mostrar: se
- Relembrando a definição de cota superior:
é cota superior significa
- A definição de máximo exige duas coisas: (i) que o candidato pertença a
e (ii) que ele domine todos os elementos de , isto é
- Pelas hipóteses do enunciado temos exatamente essas duas propriedades: a hipótese diz que
é cota superior (isto dá ) e também que . Portanto satisfaz a definição de máximo.\n
Conclusão lógica: pelas definições, as hipóteses implicam diretamente queé máximo de . Essa demonstração é curta porque a afirmação é essencialmente uma verificação direta das definições.\n
Passo 7
Resumo final rápido e um empurrãozinho de ânimo:\n
Você já tem as definições essenciais e uma prova direta para (c). Na prova basta escrever: “pelas hipóteses e
. Portanto
satisfaz a definição de máximo, logo é máximo.” Vai dar tudo certo na prova — repete esses argumentos e decora as definições com um ou dois exemplos e você segura a questão.\n
Você já tem as definições essenciais e uma prova direta para (c). Na prova basta escrever: “pelas hipóteses
Resposta
a)
é cota superior de
se, e somente se,
.\n
b) Máximo é um elemento tal que
. Supremo (least upper bound) é um elemento
que é cota superior de
e satisfaz
. Diferença prática: o máximo deve pertencer a
; o supremo pode não pertencer a
. Se há máximo, ele é o supremo; se o supremo pertence a
, então é máximo.\n
c) Se é cota superior de
(
) e
, então, por definição,
é máximo de
.
b) Máximo é um elemento
c) Se