Seja \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} com a relação de divisibilidade " \mid ":
a \mid b \quad \text { se } \quad a \text { divide } b
Considere os subconjuntos de \mathbb{N} : A=\{1,2,3\}, B=\{2,4,6\} e C=\left\{10,10^{2}, 10^{3}, 10^{4}\right\}.
Encontre as cotas superiores e cotas inferiores de A, B e C. Encontre, caso existam, o supremo e/ou o ínfimo de cada conjunto.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Encontrar as cotas superiores e as cotas inferiores de A=\{1,2,3\}, B=\{2,4,6\} e C=\{10,10^{2},10^{3},10^{4}\} no conjunto \mathbb{N} com a relação de divisibilidade.
  • Encontrar, quando existirem, o supremo e o ínfimo de cada conjunto.
Informações dadas (relevantes):
  • O universo é \mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}.
  • A relação é “divisibilidade”: para a,b\in\mathbb{N} escrevemos a\mid b se a divide b.
  • Os conjuntos são exatamente A=\{1,2,3\}, B=\{2,4,6\} e C=\{10,10^{2},10^{3},10^{4}\}.

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma simples e direta):
  • Cota superior (ou cota superior de um conjunto S em um poset): um elemento u\in\mathbb{N} é cota superior de S se, para todo s\in S, s\mid u. Em palavras: u é um número que é múltiplo de todos os elementos de S.
  • Cota inferior: um elemento \ell\in\mathbb{N} é cota inferior de S se, para todo s\in S, \ell\mid s. Em palavras: \ell é um divisor comum de todos os elementos de S.
  • Supremo de S (quando existe): é a menor das cotas superiores no sentido da relação (ou seja, uma cota superior que divide todas as outras cotas superiores). Para números naturais com divisibilidade, o supremo de um conjunto finito é o mínimo múltiplo comum (mmc, ou \mathrm{lcm}).
  • Ínfimo de S (quando existe): é a maior das cotas inferiores (ou seja, uma cota inferior que é dividida por todas as outras cotas inferiores). Para números naturais, o ínfimo de um conjunto finito é o máximo divisor comum (mdc, ou \gcd).

Passo 3

Como vamos calcular na prática (método):
  • Para cotas inferiores: calcular os divisores de cada elemento de S e tomar a interseção — são os divisores comuns. O maior desses (na ordem por divisibilidade) é o ínfimo (o \gcd).
  • Para cotas superiores: calcular os múltiplos comuns de todos os elementos — normalmente representamos como todos os múltiplos do \mathrm{lcm}. O menor múltiplo comum (o \mathrm{lcm}) é o supremo.
  • Dica prática para \mathrm{gcd} e \mathrm{lcm}: use fatoração em primos e, para cada primo, tome o menor expoente para o \gcd e o maior expoente para o \mathrm{lcm}. Para dois números também vale
\mathrm{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}.

Passo 4

Resolvendo para A=\{1,2,3\}.
Cotas inferiores (divisores comuns):
  • Divisores de 1: \{1\}.
  • Divisores de 2: \{1,2\}.
  • Divisores de 3: \{1,3\}.
    Interseção dos conjuntos de divisores: \{1\}. Portanto as cotas inferiores de A são \{1\}.
Ínfimo de A:
  • O maior elemento (na ordem de divisibilidade) entre as cotas inferiores \{1\} é 1. Logo \inf A=1.
Cotas superiores (múltiplos comuns):
  • Procuramos números que sejam múltiplos de 1,2,3 simultaneamente. Como todo número é múltiplo de 1, isso equivale a múltiplos comuns de 2 e 3.
  • \mathrm{lcm}(2,3)=6 (fatorando: 2=2, 3=3, pegar 2^1\cdot3^1=6).
  • Portanto os múltiplos comuns são \{6,12,18,\ldots\}=\{6k\mid k\in\mathbb{N}\}. Essas são as cotas superiores de A.
Supremo de A:
  • O menor desses múltiplos (no sentido de divisibilidade) é 6, que divide todos os outros múltiplos de 6. Logo \sup A=6.

Passo 5

Resolvendo para B=\{2,4,6\}.
Cotas inferiores (divisores comuns):
  • Divisores de 2: \{1,2\}.
  • Divisores de 4: \{1,2,4\}.
  • Divisores de 6: \{1,2,3,6\}.
    Interseção: \{1,2\}. Portanto as cotas inferiores de B são \{1,2\}.
Ínfimo de B:
  • Entre \{1,2\}, o maior na ordem de divisibilidade é 2 (pois 1\mid2). Logo \inf B=2.
Cotas superiores (múltiplos comuns):
  • Calcule \mathrm{lcm}(2,4,6).
  • Fatorações: 2=2, 4=2^{2}, 6=2\cdot3. Para o \mathrm{lcm} pegamos o maior expoente de cada primo: para o primo 2 o maior expoente é 2, para o primo 3 é 1. Então
\mathrm{lcm}(2,4,6)=2^{2}\cdot3=4\cdot3=12.
  • Assim os múltiplos comuns são \{12,24,36,\ldots\}=\{12k\mid k\in\mathbb{N}\}. Essas são as cotas superiores de B.
Supremo de B:
  • O menor múltiplo comum (na ordem de divisibilidade) é 12. Logo \sup B=12.

Passo 6

Resolvendo para C=\{10,10^{2},10^{3},10^{4}\}=\{10,100,1000,10000\}.
Observação útil: aqui os elementos formam uma cadeia por divisibilidade:
10 \mid 100 \mid 1000 \mid 10000.
Isso facilita bastante.
Cotas inferiores (divisores comuns):
  • Qualquer divisor comum a todos os elementos deve dividir o menor entre eles (o menor é 10). Logo os divisores comuns são exatamente os divisores de 10.
  • Divisores de 10: \{1,2,5,10\}.
    Portanto as cotas inferiores de C são \{1,2,5,10\}.
Ínfimo de C:
  • Entre esses divisores, o maior (na ordem de divisibilidade) é 10 (pois 1\mid2\mid10 não exatamente, mas 1\mid10, 2\mid10, 5\mid10 e 10 é múltiplo de todos eles). Então \inf C=10.
Cotas superiores (múltiplos comuns):
  • Qualquer múltiplo comum de todos os elementos precisa ser múltiplo do maior deles, que é 10000. Logo os múltiplos comuns são \{10000,20000,30000,\ldots\}=\{10000\cdot k\mid k\in\mathbb{N}\}.
  • Em termos de \mathrm{lcm}, \mathrm{lcm}(10,100,1000,10000)=10000.
Supremo de C:
  • O menor múltiplo comum é 10000. Logo \sup C=10000.

Passo 7

Resumo rápido (motivação final e checagem):
  • Em \mathbb{N} com divisibilidade, para conjuntos finitos existe sempre \gcd e \mathrm{lcm}, portanto infimos e supremos existem para esses conjuntos finitos. Verificamos explicitamente para A,B,C usando divisores comuns e múltiplos comuns.
  • Vai dar tudo certo na prova: identifique se pedem “divisor comum” (cota inferior) ou “múltiplo comum” (cota superior), e use \gcd / \mathrm{lcm} — pode fatorar em primos ou usar propriedades como \mathrm{lcm}(a,b)=a b/\gcd(a,b).

Resposta

A: cotas inferiores \{1\}; ínfimo \,1. cotas superiores \{6,12,18,\ldots\}=\{6k\mid k\in\mathbb{N}\}; supremo \,6.
B: cotas inferiores \{1,2\}; ínfimo \,2. cotas superiores \{12,24,36,\ldots\}=\{12k\mid k\in\mathbb{N}\}; supremo \,12.
C: cotas inferiores \{1,2,5,10\}; ínfimo \,10. cotas superiores \{10000,20000,30000,\ldots\}=\{10000k\mid k\in\mathbb{N}\}; supremo \,10000.

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