Seja
com a relação de divisibilidade "
":
Considere os subconjuntos de
:
e
.
Encontre as cotas superiores e cotas inferiores de
e
. Encontre, caso existam, o supremo e/ou o ínfimo de cada conjunto.
Encontre as cotas superiores e cotas inferiores de
Passo 1
O que o problema pede:
- Encontrar as cotas superiores e as cotas inferiores de
, e no conjunto com a relação de divisibilidade. - Encontrar, quando existirem, o supremo e o ínfimo de cada conjunto.
Informações dadas (relevantes):
- O universo é
. - A relação é “divisibilidade”: para
escrevemos se divide . - Os conjuntos são exatamente
, e .
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma simples e direta):
- Cota superior (ou cota superior de um conjunto
em um poset): um elemento é cota superior de se, para todo , . Em palavras: é um número que é múltiplo de todos os elementos de . - Cota inferior: um elemento
é cota inferior de se, para todo , . Em palavras: é um divisor comum de todos os elementos de . - Supremo de
(quando existe): é a menor das cotas superiores no sentido da relação (ou seja, uma cota superior que divide todas as outras cotas superiores). Para números naturais com divisibilidade, o supremo de um conjunto finito é o mínimo múltiplo comum (mmc, ou ). - Ínfimo de
(quando existe): é a maior das cotas inferiores (ou seja, uma cota inferior que é dividida por todas as outras cotas inferiores). Para números naturais, o ínfimo de um conjunto finito é o máximo divisor comum (mdc, ou ).
Passo 3
Como vamos calcular na prática (método):
- Para cotas inferiores: calcular os divisores de cada elemento de
e tomar a interseção — são os divisores comuns. O maior desses (na ordem por divisibilidade) é o ínfimo (o ). - Para cotas superiores: calcular os múltiplos comuns de todos os elementos — normalmente representamos como todos os múltiplos do
. O menor múltiplo comum (o ) é o supremo. - Dica prática para
e : use fatoração em primos e, para cada primo, tome o menor expoente para o e o maior expoente para o . Para dois números também vale
Passo 4
Resolvendo para
.
Cotas inferiores (divisores comuns):
- Divisores de
: . - Divisores de
: . - Divisores de
: .
Interseção dos conjuntos de divisores:. Portanto as cotas inferiores de são .
Ínfimo de
:
- O maior elemento (na ordem de divisibilidade) entre as cotas inferiores
é . Logo .
Cotas superiores (múltiplos comuns):
- Procuramos números que sejam múltiplos de
simultaneamente. Como todo número é múltiplo de , isso equivale a múltiplos comuns de e . -
(fatorando: , , pegar ). - Portanto os múltiplos comuns são
. Essas são as cotas superiores de .
Supremo de
:
- O menor desses múltiplos (no sentido de divisibilidade) é
, que divide todos os outros múltiplos de . Logo .
Passo 5
Resolvendo para
.
Cotas inferiores (divisores comuns):
- Divisores de
: . - Divisores de
: . - Divisores de
: .
Interseção:. Portanto as cotas inferiores de são .
Ínfimo de
:
- Entre
, o maior na ordem de divisibilidade é (pois ). Logo .
Cotas superiores (múltiplos comuns):
- Calcule
. - Fatorações:
, , . Para o pegamos o maior expoente de cada primo: para o primo o maior expoente é , para o primo é . Então
- Assim os múltiplos comuns são
. Essas são as cotas superiores de .
Supremo de
:
- O menor múltiplo comum (na ordem de divisibilidade) é
. Logo .
Passo 6
Resolvendo para
.
Observação útil: aqui os elementos formam uma cadeia por divisibilidade:
Isso facilita bastante.
Cotas inferiores (divisores comuns):
- Qualquer divisor comum a todos os elementos deve dividir o menor entre eles (o menor é
). Logo os divisores comuns são exatamente os divisores de . - Divisores de
: .
Portanto as cotas inferiores desão .
Ínfimo de
:
- Entre esses divisores, o maior (na ordem de divisibilidade) é
(pois não exatamente, mas , , e é múltiplo de todos eles). Então .
Cotas superiores (múltiplos comuns):
- Qualquer múltiplo comum de todos os elementos precisa ser múltiplo do maior deles, que é
. Logo os múltiplos comuns são . - Em termos de
, .
Supremo de
:
- O menor múltiplo comum é
. Logo .
Passo 7
Resumo rápido (motivação final e checagem):
- Em
com divisibilidade, para conjuntos finitos existe sempre e , portanto infimos e supremos existem para esses conjuntos finitos. Verificamos explicitamente para usando divisores comuns e múltiplos comuns. - Vai dar tudo certo na prova: identifique se pedem “divisor comum” (cota inferior) ou “múltiplo comum” (cota superior), e use
/ — pode fatorar em primos ou usar propriedades como .
Resposta
A: cotas inferiores
; ínfimo
. cotas superiores
; supremo
.
B: cotas inferiores
; ínfimo
. cotas superiores
; supremo
.
C: cotas inferiores
; ínfimo
. cotas superiores
; supremo
.