Seja X conjunto parcialmente ordenado e A \subset X.
a)Defina o que sería o ínfimo e o supremo do conjunto A.
b) Dê exemplo de um conjunto que possui supremo e de um conjunto que não possui supremo.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto parcialmente ordenado \(X) e um subconjunto \(A \subset X). Pede duas coisas:
  1. (a) Definir o que seria o ínfimo e o supremo do conjunto \(A).
  2. (b) Dar um exemplo de um conjunto que possui supremo e um exemplo de um conjunto que não possui supremo.
As informações dadas são apenas que \(X) é um pré‑conjunto com uma ordem parcial e que \(A) é um subconjunto qualquer. A solução deve fornecer definições formais e exemplos concretos.

Passo 2

Vamos começar lembrando duas noções simples e intuitivas, que depois formalizo:
  • Uma cota superior (upper bound) de \(A) é um elemento de \(X) que é maior ou igual a todo elemento de \(A).
  • Uma cota inferior (lower bound) de \(A) é um elemento de \(X) que é menor ou igual a todo elemento de \(A).
Agora as definições formais e precisas.

Passo 3

Definição formal de supremo (menor cota superior):
Um elemento \(s\in X) é o supremo de \(A) (também chamado de menor cota superior, ou \sup A) se, e somente se, valem as duas propriedades seguintes:
  1. \(s) é uma cota superior de \(A): \forall a\in A,\quad a \le s.
  2. \(s) é a menor entre as cotas superiores: se \(u\in X) é qualquer cota superior de \(A) (ou seja, \forall a\in A,\\ a\le u), então \\ s \le u.
Comentários intuitivos: a primeira condição diz que nada em \(A) ultrapassa \(s); a segunda diz que \(s) é o menor elemento possível que tem essa propriedade (nenhuma outra cota superior é estritamente menor que \(s)). Note que o supremo, se existir, é único (vou mostrar por quê no próximo passo).

Passo 4

Definição formal de ínfimo (maior cota inferior):
Um elemento \(i\in X) é o ínfimo de \(A) (também chamado de maior cota inferior, ou \inf A) se, e somente se, valem:
  1. \(i) é uma cota inferior de \(A): \forall a\in A,\quad i \le a.
  2. \(i) é a maior entre as cotas inferiores: se \(l\in X) é qualquer cota inferior de \(A) (ou seja, \forall a\in A,\\ l\le a), então \\ l \le i.
Intuição: o ínfimo é o maior elemento que fica sempre abaixo de todos os elementos de \(A).

Passo 5

Prova rápida de unicidade (útil na prova): se existissem dois supremos \(s) e \(s') de \(A), pela definição de menor cota superior teríamos \\ s \le s' e também \\ s' \le s. Pela propriedade antisímetrica da ordem parcial isso implica \\ s = s'. Portanto o supremo, quando existe, é único; o mesmo argumento vale para o ínfimo.

Passo 6

Como verificar na prática (dicas para a prova):
  1. Liste (ou descreva) todas as cotas superiores de \(A) dentro de \(X) — às vezes dá para ver que elas existem ou não.
  2. Mostre que um candidato \(s) é cota superior: verifique \forall a\in A,\\ a\le s.
  3. Mostre que \(s) é a menor cota superior: pegue uma cota superior arbitrária \(u) e prove \\ s\le u. Uma técnica prática é: suponha u<s e derive contradição encontrando a\in A com a>u.
  4. Para mostrar que não existe supremo, geralmente você prova que ou não há nenhuma cota superior em \(X), ou que há cotas superiores mas não existe uma menor entre elas (sempre pode-se construir uma cota superior menor), ou então mostra que o candidato natural não pertence a \(X).

Passo 7

Exemplo de conjunto que possui supremo (e verificação): tomo o poset \(\mathbb{R}) com a ordem usual e A=(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:0<x<1\}.
  • Primeiro, verificar que 1 é cota superior: para todo a\in A temos a<1, logo a\le 1. Portanto 1 é cota superior.
  • Agora mostrar que 1 é a menor cota superior. Seja u qualquer cota superior de A. Se u<1, então escolha o ponto médio \displaystyle a=\frac{u+1}{2}. Temos u<a<1, logo a\in A, mas então a\le u (pois u seria cota superior) — contradição porque a>u. Portanto não é possível u<1; então 1\le u. Assim 1 é menor ou igual a qualquer cota superior u, ou seja, 1=\sup A.
Observação: o supremo pode não pertencer a A — aqui \(1\notin A), mas ainda assim é \sup A. O ínfimo de A é 0 e o raciocínio é análogo.

Passo 8

Exemplo de conjunto que não possui supremo (caso clássico): tomo o poset \(\mathbb{Q}) com a ordem usual e B=\{q\in\mathbb{Q}:\\ q^2<2\}.
Intuição: B é o conjunto dos racionais cuja raiz quadrada seria menor que \sqrt{2}. Em \mathbb{R} o supremo seria \sqrt{2}, mas \sqrt{2}\notin\mathbb{Q}. Vou mostrar que não existe supremum em \mathbb{Q}.
Prova que não existe \sup B em \mathbb{Q}:
  • Se s\in\mathbb{Q} satisfaz s^2<2, então s não é uma cota superior (pois existe racional r com s<r<\sqrt{2} — sempre há racionais entre dois reais — e então r\in B e r>s, contradizendo que s é cota superior).
  • Se s\in\mathbb{Q} satisfaz s^2>2, então s é uma cota superior de B, mas não é a menor cota superior: existe um racional t com \sqrt{2}<t<s (novamente por densidade dos racionais), e esse t também é cota superior, então s não é mínimo entre as cotas superiores.
  • O caso s^2=2 não acontece em \mathbb{Q} porque \sqrt{2} não é racional.
Assim não existe nenhum s\in\mathbb{Q} que seja a menor cota superior de B. Portanto B não possui supremo em \mathbb{Q}.

Passo 9

Resumo das ideias principais (para gravar na prova):
  • Supremo = menor cota superior; ínfimo = maior cota inferior.
  • Verificar duas coisas: é cota superior/inferior? e é mínimo/máximo entre as cotas?
  • Exemplos clássicos: em \mathbb{R} intervalos abertos costumam ter supremo/ínfimo em \mathbb{R}; em \mathbb{Q} conjuntos que aproximam números irracionais (como B acima) mostram ausência de supremo em \mathbb{Q}.
  • Persistência: não se esqueça de checar se o candidato está no próprio conjunto \(A) ou apenas em X — isso não importa para ser supremo, pois supremo pode estar fora de A; o que importa é pertencer a X.

Resposta

(a) O supremo de A é o menor elemento s\in X que é cota superior de A; formalmente: \forall a\in A,\\ a\le s e para toda cota superior u\in X de A vale s\le u. O ínfimo de A é o maior elemento i\in X que é cota inferior de A; formalmente: \forall a\in A,\\ i\le a e para toda cota inferior l\in X de A vale l\le i.
(b) Exemplo com supremo: em \mathbb{R} com a ordem usual, o conjunto A=(0,1) tem \sup A=1.
Exemplo sem supremo: em \mathbb{Q} com a ordem usual, o conjunto B=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<2\} não possui supremo em \mathbb{Q}.

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