Seja X uma r.v. com d.f. F. Determine o d.f. dos seguintes va1. X é contínua e F estritamente crescente;
2. X é discreta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a função de distribuição (d.f.) de uma variável aleatória X com função de distribuição F, em dois casos diferentes: quando X é contínua e F é estritamente crescente, e quando X é discreta. Vamos precisar entender o que é função de distribuição, as diferenças entre variáveis contínuas e discretas, e como isso afeta a função de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma função de distribuição (d.f.). A função de distribuição de uma variável aleatória X, denotada por F(x), é definida como:
F(x) = P(X <= x)
Isso significa que F(x) nos dá a probabilidade de que a variável aleatória X seja menor ou igual a um certo valor x.

Passo 3

Agora, vamos considerar o primeiro caso: X é contínua e F é estritamente crescente.
Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo de números reais. Quando a função de distribuição F é estritamente crescente, isso significa que para cada x1 < x2, temos F(x1) < F(x2). Isso ocorre porque, em variáveis contínuas, não há “saltos” na função de distribuição; ela aumenta suavemente.

Passo 4

Para uma variável contínua com F estritamente crescente, a função de distribuição inversa, ou seja, a função que nos dá o valor de X para uma dada probabilidade, existe. Isso significa que podemos escrever:
F^-1(p) = x tal que F(x) = p
Mas como queremos a função de distribuição, já sabemos que F(x) é a função que estamos buscando. Portanto, nesse caso, a função de distribuição permanece F(x).

Passo 5

Agora, vamos para o segundo caso: X é discreta.
Uma variável aleatória discreta assume valores isolados, geralmente inteiros, e a função de distribuição nesse caso pode ter saltos. Ou seja, existem valores específicos de x onde a probabilidade aumenta de forma abrupta.
Para uma variável discreta, a função de distribuição é dada por:
F(x) = P(X <= x) = sumk <= x P(X = k)
Aqui, somamos as probabilidades de todos os valores k que X pode assumir e que são menores ou iguais a x.

Passo 6

Portanto, resumindo:
  1. Se X é contínua e F é estritamente crescente: A função de distribuição de X é F(x) = P(X <= x), que aumenta continuamente sem saltos.
  2. Se X é discreta: A função de distribuição de X é F(x) = sumk <= x P(X = k), apresentando saltos em cada valor que X pode assumir.

Resposta

A função de distribuição de X é:
  1. Para X contínua com F estritamente crescente, F(x) = P(X <= x);
  2. Para X discreta, F(x) = sumk <= x P(X = k).

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