Seja
uma r.v. com d.f. F. Determine o d.f. dos seguintes va1.
é contínua e F estritamente crescente;
2.
é discreta.
2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a função de distribuição (d.f.) de uma variável aleatória
com função de distribuição
, em dois casos diferentes: quando
é contínua e
é estritamente crescente, e quando
é discreta. Vamos precisar entender o que é função de distribuição, as diferenças entre variáveis contínuas e discretas, e como isso afeta a função de distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma função de distribuição (d.f.). A função de distribuição de uma variável aleatória
, denotada por
, é definida como:
Isso significa que
nos dá a probabilidade de que a variável aleatória
seja menor ou igual a um certo valor
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o primeiro caso:
é contínua e
é estritamente crescente.
Uma variável aleatória contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo de números reais. Quando a função de distribuição
é estritamente crescente, isso significa que para cada
, temos
. Isso ocorre porque, em variáveis contínuas, não há “saltos” na função de distribuição; ela aumenta suavemente.
Passo 4
Para uma variável contínua com
estritamente crescente, a função de distribuição inversa, ou seja, a função que nos dá o valor de
para uma dada probabilidade, existe. Isso significa que podemos escrever:
Mas como queremos a função de distribuição, já sabemos que
é a função que estamos buscando. Portanto, nesse caso, a função de distribuição permanece
.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo caso:
é discreta.
Uma variável aleatória discreta assume valores isolados, geralmente inteiros, e a função de distribuição nesse caso pode ter saltos. Ou seja, existem valores específicos de
onde a probabilidade aumenta de forma abrupta.
Para uma variável discreta, a função de distribuição é dada por:
Aqui, somamos as probabilidades de todos os valores
que
pode assumir e que são menores ou iguais a
.
Passo 6
Portanto, resumindo:
-
Se
é contínua e é estritamente crescente: A função de distribuição de é , que aumenta continuamente sem saltos. -
Se
é discreta: A função de distribuição de é , apresentando saltos em cada valor que pode assumir.
Resposta
A função de distribuição de
é:
- Para
contínua com estritamente crescente, ; - Para
discreta, .