Se
é uma v.a. tendo distribuição geométrica com parâmetros
e
e
, mostre que
e
;
Observação Em distribuições discretas, frequentemente nos deparamos com cálculos do tipo:
. Sob condições apropriadas, podemos aplicar a seguinte abordagem:
De forma análoga tratamos a expressão
.
Observação Em distribuições discretas, frequentemente nos deparamos com cálculos do tipo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição geométrica com parâmetros $ p $ e $ q $, onde $ q = 1 - p $. A função de massa de probabilidade é dada por $ f(k) = p q^{k} $ para $ k = 0,1,2,··· $. Nosso objetivo é mostrar que a esperança $ E[X] = \frac{q}{p} $ e a variância $ \sigma^{2}(X) = \frac{q}{p^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades de somatórios infinitos e derivadas aplicadas a séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a esperança $ E[X] $ de uma variável aleatória discreta é calculada pela soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades. Então, temos:
Passo 3
Note que quando $ k = 0 $, o termo $ k \cdot p q^{k} = 0 $, então podemos começar a soma a partir de $ k = 1 $:
Passo 4
Vamos fatorar o $ p $ que é constante:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a soma $ \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k} $. Para isso, usamos a técnica mencionada na observação do enunciado. Sabemos que:
Aqui, $ \theta $ é igual a $ q $.
Passo 6
Substituindo $ \theta $ por $ q $:
Passo 7
Voltando à expressão da esperança:
Mas lembrando que $ q = 1 - p $, então $ 1 - q = p $. Substituindo:
Passo 8
Agora, vamos calcular a variância $ \sigma^{2}(X) $, que é dada por:
Primeiro, precisamos calcular $ E[X^{2}] $:
Passo 9
Similar ao que fizemos para $ E[X] $, podemos começar a soma a partir de $ k = 1 $:
Passo 10
Para calcular $ \sum_{k=1}^{\infty} k^{2} q^{k} $, usamos uma abordagem semelhante, mas agora precisamos utilizar a segunda derivada da série geométrica:
Passo 11
Então, substituindo de volta na expressão de $ E[X^{2}] $:
Passo 12
Agora, calculamos a variância:
Resposta
Portanto, mostramos que $ E[X] = \frac{q}{p} $ e $ \sigma^{2}(X) = \frac{q}{p^{2}} $.