Se X é uma v.a. tendo distribuição geométrica com parâmetros p e q, 0 e q=1-p, f(k)=p q^k, k=0,1, ldots, mostre que E[X]=qp e sigma^2(X)=qp^2;
Observação Em distribuições discretas, frequentemente nos deparamos com cálculos do tipo: sumk+1^infty k theta^k. Sob condições apropriadas, podemos aplicar a seguinte abordagem:
sumk=1^infty k theta^k & =theta sumk=1^infty k theta^k-1=theta sumk=1^infty dd theta theta^k=theta dd theta sumk=1^infty theta^k & =theta dd theta(theta1-theta)=theta(1-theta)^2
De forma análoga tratamos a expressão sumk=2^infty k(k-1) theta^(k-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição geométrica com parâmetros $ p $ e $ q $, onde $ q = 1 - p $. A função de massa de probabilidade é dada por $ f(k) = p q^{k} $ para $ k = 0,1,2,··· $. Nosso objetivo é mostrar que a esperança $ E[X] = \frac{q}{p} $ e a variância $ \sigma^{2}(X) = \frac{q}{p^{2}} $. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades de somatórios infinitos e derivadas aplicadas a séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a esperança $ E[X] $ de uma variável aleatória discreta é calculada pela soma dos valores possíveis multiplicados pelas suas probabilidades. Então, temos:
E[X]

Passo 3

Note que quando $ k = 0 $, o termo $ k \cdot p q^{k} = 0 $, então podemos começar a soma a partir de $ k = 1 $:
k = 0

Passo 4

Vamos fatorar o $ p $ que é constante:
p

Passo 5

Agora, precisamos calcular a soma $ \sum_{k=1}^{\infty} k q^{k} $. Para isso, usamos a técnica mencionada na observação do enunciado. Sabemos que:
sumk=1^infty k q^k
Aqui, $ \theta $ é igual a $ q $.

Passo 6

Substituindo $ \theta $ por $ q $:
theta

Passo 7

Voltando à expressão da esperança:
E[X] = p cdot q(1 - q)^2
Mas lembrando que $ q = 1 - p $, então $ 1 - q = p $. Substituindo:
q = 1 - p

Passo 8

Agora, vamos calcular a variância $ \sigma^{2}(X) $, que é dada por:
sigma^2(X)
Primeiro, precisamos calcular $ E[X^{2}] $:
sigma^2(X) = E[X^2] - (E[X])^2

Passo 9

Similar ao que fizemos para $ E[X] $, podemos começar a soma a partir de $ k = 1 $:
E[X]

Passo 10

Para calcular $ \sum_{k=1}^{\infty} k^{2} q^{k} $, usamos uma abordagem semelhante, mas agora precisamos utilizar a segunda derivada da série geométrica:
sumk=1^infty k^2 q^k

Passo 11

Então, substituindo de volta na expressão de $ E[X^{2}] $:
E[X^2]

Passo 12

Agora, calculamos a variância:
sigma^2(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = q (1 + q)p^2 - ( qp )^2 = qp^2

Resposta

Portanto, mostramos que $ E[X] = \frac{q}{p} $ e $ \sigma^{2}(X) = \frac{q}{p^{2}} $.

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