Mostre que a seguinte função F é uma d.f. (Distribuição logística) e Encontre a correspondente f.d.p. f.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(x) = \frac{1}{1 + e^{-(\alpha x + \beta)}} $ e precisa mostrar que essa função $ F $ é uma função de distribuição acumulada (d.f.) logística. Depois, temos que encontrar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) correspondente, que é $ f(x) = \alpha F(x)(1 - F(x)) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma d.f. e como derivar a f.d.p. a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (d.f.). Uma d.f. $ F(x) $ deve satisfazer três propriedades:
- $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $
- $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $
- $ F(x) $ é uma função não decrescente.
Vamos verificar essas propriedades para a função dada.
Passo 3
Vamos analisar os limites:
-
Quando $ x \to -\infty $:Assim,Portanto,
-
Quando $ x \to +\infty $:Então,Assim,
Passo 4
Agora, vamos verificar se $ F(x) $ é não decrescente. A derivada de $ F(x) $ nos dirá se a função está aumentando ou não.
Calculando $ F’(x) $:
Como $ \alpha > 0 $ e o denominador é sempre positivo, $ F’(x) \geq 0 $. Portanto, $ F(x) $ é uma função não decrescente.
Passo 5
Como a função $ F(x) $ satisfaz todas as propriedades de uma d.f., podemos concluir que ela é, de fato, uma função de distribuição acumulada logística.
Agora, vamos encontrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $, que é a derivada de $ F(x) $.
Passo 6
Calculando a derivada de $ F(x) $:
Podemos reescrever essa expressão em termos de $ F(x) $:
Resposta
Assim, mostramos que $ F(x) $ é uma função de distribuição logística e que a função densidade de probabilidade correspondente é $ f(x) = \alpha F(x)(1 - F(x)) $.