Mostre que a seguinte função F é uma d.f. (Distribuição logística) e Encontre a correspondente f.d.p. f.
F(x)=11+e^-(alpha x+beta) x in R, alpha>0 beta in R
Mostre que f(x)=alpha F(x)(1-F(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(x) = \frac{1}{1 + e^{-(\alpha x + \beta)}} $ e precisa mostrar que essa função $ F $ é uma função de distribuição acumulada (d.f.) logística. Depois, temos que encontrar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) correspondente, que é $ f(x) = \alpha F(x)(1 - F(x)) $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma d.f. e como derivar a f.d.p. a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de distribuição acumulada (d.f.). Uma d.f. $ F(x) $ deve satisfazer três propriedades:
  1. $ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $
  2. $ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $
  3. $ F(x) $ é uma função não decrescente.
Vamos verificar essas propriedades para a função dada.

Passo 3

Vamos analisar os limites:
  1. Quando $ x \to -\infty $:
    x to -infty á
    Assim,
    alpha x + beta to -infty (já que alpha > 0 )
    Portanto,
    e^-(alpha x + beta) = e^+infty to +infty
  2. Quando $ x \to +\infty $:
    F(x) = 11 + e^-(alpha x + beta) to 1+infty = 0
    Então,
    x to +infty
    Assim,
    alpha x + beta to +infty

Passo 4

Agora, vamos verificar se $ F(x) $ é não decrescente. A derivada de $ F(x) $ nos dirá se a função está aumentando ou não.
Calculando $ F’(x) $:
F(x)
Como $ \alpha > 0 $ e o denominador é sempre positivo, $ F’(x) \geq 0 $. Portanto, $ F(x) $ é uma função não decrescente.

Passo 5

Como a função $ F(x) $ satisfaz todas as propriedades de uma d.f., podemos concluir que ela é, de fato, uma função de distribuição acumulada logística.
Agora, vamos encontrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $, que é a derivada de $ F(x) $.

Passo 6

Calculando a derivada de $ F(x) $:
F(x)
Podemos reescrever essa expressão em termos de $ F(x) $:
f(x) = F'(x) = alpha e^-(alpha x + beta)(1 + e^-(alpha x + beta))^2

Resposta

Assim, mostramos que $ F(x) $ é uma função de distribuição logística e que a função densidade de probabilidade correspondente é $ f(x) = \alpha F(x)(1 - F(x)) $.

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