Seja X \subset \mathbb{R}^{2} tal que a métrica euclidiana induz em X a métrica zero-um. Prove que X tem no máximo três elementos. Generalize para \mathbb{R}^{n}.

Passo 1

O enunciado diz: X\subset\mathbb{R}^{2}\) e a métrica euclidiana quando restrita a \(X\) é a métrica zero-um. Isso significa, explicitamente, que para quaisquer \(x,y\in X\) \[d(x,y)=\begin{cases}0,& x=y,\\\\ 1,& x\ne y.\end{cases}
O que se pede:
  • Mostrar que X\] tem no máximo três elementos (isto é, \(|X|\le 3 quando X\subset\mathbb{R}^2).
  • Generalizar o resultado para \mathbb{R}^{n} (achar o maior possível de elementos de X em \mathbb{R}^n).
Informações relevantes dadas:
  • Todos os pares de pontos distintos de X têm distância 1.
  • Trabalha-se com a métrica euclidiana usual em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Vamos organizar a situação com notação. Suponha que X tenha m elementos distintos e escreva-os como
x_1,x_2,\dots,x_m\in\mathbb{R}^n
(com n=2 no caso inicial). Como todos os pares distintos estão a distância 1, para quaisquer i\ne j vale
\|x_i-x_j\|=1.
O objetivo é obter uma desigualdade entre m e n que nos imponha um teto para m. Vou construir vetores a partir dessas diferenças e explorar propriedades do produto interno.

Passo 3

Defina, para j=2,\dots,m,
y_j := x_j - x_1.
Esses vetores y_j estão em \mathbb{R}^n. Note que, para cada j\ge2,
\|y_j\| = \|x_j-x_1\| = 1,
pois x_j e x_1 são distintos e todos os pares distintos têm distância 1. Assim
\|y_j\|^2 = 1\qquad\text{para todo } j\ge2.

Passo 4

Calcule agora os produtos internos entre dois desses vetores distintos. Para j\ne k, usando a identidade
\|u-v\|^2 = \|u\|^2+\|v\|^2 - 2\,u\cdot v,
com u=y_j e v=y_k, obtemos
\|y_j-y_k\|^2 = \|y_j\|^2 + \|y_k\|^2 - 2\,y_j\cdot y_k.
Mas \|y_j-y_k\| = \| (x_j-x_1) - (x_k-x_1)\| = \|x_j-x_k\| = 1. Substituindo \|y_j\|^2=\|y_k\|^2=1 e \|y_j-y_k\|^2=1
1 = 1 + 1 - 2\,y_j\cdot y_k.
Logo
y_j\cdot y_k = \tfrac{1}{2}\qquad\text{para todos } j\ne k.
Resumo até aqui: os vetores y_2,\dots,y_m satisfazem \|y_j\|^2=1 e y_j\cdot y_k=\tfrac12 para j\ne k.

Passo 5

Mostraremos que os vetores y_2,\dots,y_m são linearmente independentes. Suponha uma combinação linear nula:
\sum_{j=2}^{m} a_j y_j = 0
com escalares a_j\in\mathbb{R}. Tomando produto interno com y_k (para um k fixo entre 2 e m) obtemos
0 = \left(\sum_{j=2}^{m} a_j y_j\right)\cdot y_k = a_k\,y_k\cdot y_k + \sum_{\substack{j=2\\\ j\ne k}}^{m} a_j\,y_j\cdot y_k.
Usando y_k\cdot y_k=\|y_k\|^2=1 e y_j\cdot y_k=\tfrac12 para j\ne k, isso vira
0 = a_k + \tfrac12\sum_{\substack{j=2\\\ j\ne k}}^{m} a_j.
Seja S:=\sum_{j=2}^m a_j. Então a soma acima é S-a_k, e a equação fica
0 = a_k + \tfrac12(S-a_k) = \tfrac12 a_k + \tfrac12 S.
Multiplicando por 2,
a_k + S = 0 \qquad\text{ou seja}\qquad a_k = -S,
e isso vale para todo k=2,\dots,m. Assim todos os a_k são iguais a -S. Como há m-1 coeficientes,
S = \sum_{j=2}^m a_j = (m-1)(-S) = -(m-1)S.
Logo
S = -(m-1)S \implies mS = 0.
Como m\ge1, segue S=0. Portanto a_k = -S = 0 para todo k. Concluímos que a única combinação linear que dá zero é a trivial, logo os vetores y_2,\dots,y_m são linearmente independentes.

Passo 6

Um conjunto de vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^n pode ter no máximo n vetores. Aqui temos m-1 vetores independentes ( y_2,\dots,y_m), portanto
m-1 \le n \qquad\Longrightarrow\qquad m \le n+1.
Isto já resolve a questão: em particular, para n=2 obtemos m\le 3. Geometricamente isso diz que pontos com todas as distâncias iguais a 1 são vértices de um simplex regular de dimensão m-1; em \mathbb{R}^2\\ o simplex máximo é o triângulo equilátero (3 vértices).

Passo 7

Comentário final e exemplos concretos: em \mathbb{R}^2 é possível ter um conjunto X com exatamente 3 pontos (vértices de um triângulo equilátero de lado 1), mas não é possível ter 4 pontos mutuamente a distância 1. Em \mathbb{R}^3 o máximo é 4 (os vértices de um tetraedro regular), e, em geral, em \mathbb{R}^n o máximo é n+1 (vértices de um n-simplex regular).

Resposta

Em \mathbb{R}^2: |X|\le 3.
Em \mathbb{R}^n: |X|\le n+1.

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