Seja
tal que a métrica euclidiana induz em
a métrica zero-um. Prove que
tem no máximo três elementos. Generalize para
.
Passo 1
O enunciado diz:
O que se pede:
- Mostrar que
quando
). - Generalizar o resultado para
(achar o maior possível de elementos de em ).
Informações relevantes dadas:
- Todos os pares de pontos distintos de
têm distância . - Trabalha-se com a métrica euclidiana usual em
.
Passo 2
Vamos organizar a situação com notação. Suponha que
tenha
elementos distintos e escreva-os como
(com
no caso inicial). Como todos os pares distintos estão a distância
, para quaisquer
vale
O objetivo é obter uma desigualdade entre
e
que nos imponha um teto para
. Vou construir vetores a partir dessas diferenças e explorar propriedades do produto interno.
Passo 3
Defina, para
,
Esses vetores
estão em
. Note que, para cada
,
pois
e
são distintos e todos os pares distintos têm distância
. Assim
Passo 4
Calcule agora os produtos internos entre dois desses vetores distintos. Para
, usando a identidade
com
e
, obtemos
Mas
. Substituindo
e
dá
Logo
Resumo até aqui: os vetores
satisfazem
e
para
.
Passo 5
Mostraremos que os vetores
são linearmente independentes. Suponha uma combinação linear nula:
com escalares
. Tomando produto interno com
(para um
fixo entre
e
) obtemos
Usando
e
para
, isso vira
Seja
. Então a soma acima é
, e a equação fica
Multiplicando por
,
e isso vale para todo
. Assim todos os
são iguais a
. Como há
coeficientes,
Logo
Como
, segue
. Portanto
para todo
. Concluímos que a única combinação linear que dá zero é a trivial, logo os vetores
são linearmente independentes.
Passo 6
Um conjunto de vetores linearmente independentes em
pode ter no máximo
vetores. Aqui temos
vetores independentes (
), portanto
Isto já resolve a questão: em particular, para
obtemos
. Geometricamente isso diz que pontos com todas as distâncias iguais a
são vértices de um simplex regular de dimensão
; em
máximo é o triângulo equilátero (3 vértices).
Passo 7
Comentário final e exemplos concretos: em
é possível ter um conjunto
com exatamente
pontos (vértices de um triângulo equilátero de lado
), mas não é possível ter
pontos mutuamente a distância
. Em
o máximo é
(os vértices de um tetraedro regular), e, em geral, em
o máximo é
(vértices de um
-simplex regular).
Resposta
Em
:
.
Em
:
.