Estude a posição relativa das retas r e s.
r:\left\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\\ y=-1 \\\ z=\lambda\end{array}, \lambda \in \mathbb{R}\right. s:\left\{\begin{array}{l}x=\mu+1 \\\ y=\mu-1 \\\ z=\mu\end{array}, \mu \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica e pede que se estude a posição relativa entre elas. Vou listar o que está explícito no enunciado:
  • A reta r\) é dada por \[r:\begin{cases} x=1+\lambda\\[4pt] y=-1\\[4pt] z=\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
  • A reta (s] é dada por
    s:\begin{cases} x=1+\mu\\[4pt] y=\mu-1\\[4pt] z=\mu \end{cases},\qquad \mu\in\mathbb{R}.
O que se pede: determinar a posição relativa entre r e s. Ou seja, decidir se são coincidentes, paralelas distintas, concorrentes (intersectam em um ponto) ou reversas (skew — não se cruzam e não são paralelas).]

Passo 2

Interpretação geométrica das parametrizações: cada reta é dada por um ponto inicial (quando o parâmetro vale zero) e um vetor diretor (coeficientes do parâmetro).
  • Para r:
    • Ponto de referência (tomando \lambda=0): \,A=(1,-1,0).
    • Vetor diretor: \,v_r=(1,0,1), pois as componentes que acompanham \lambda são 1 em x, 0 em y e 1 em z.
  • Para s:
    • Ponto de referência (tomando \mu=0): \,B=(1,-1,0).
    • Vetor diretor: \,v_s=(1,1,1), pois as componentes que acompanham \mu são 1 em x, 1 em y e 1 em z.
Observação útil para a prova: dado uma parametricidade \,x=x_0+t a,\;y=y_0+t b,\;z=z_0+t c, o ponto (x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta e (a,b,c) é o vetor diretor.

Passo 3

Testar se as retas são paralelas ou coincidentes: isso depende dos vetores diretores serem proporcionais (colineares).
  • Verificar se existe escalar k tal que v_r = k\,v_s. Escrevendo componentes: (1,0,1)=k(1,1,1)=(k,k,k).Comparando componentes: da primeira vem k=1. Da segunda comp. viria 0=k, ou seja 0=1, contradição. Logo não existe k que satisfaça; portanto v_r e v_s não são proporcionais.
Conclusão deste passo: os vetores diretores não são colineares, então as retas não são paralelas. Assim restam duas possibilidades: ou se cruzam (têm um ponto em comum) ou são reversas (no caso 3D, não se cruzam e não são paralelas).

Passo 4

Testar se as retas se intersectam: procurar [\lambda) e \mu tais que as coordenadas coincidam simultaneamente. Monta-se o sistema obtido igualando as parametrizações:
\begin{cases} 1+\lambda = 1+\mu \\[4pt] -1 = \mu-1 \\[4pt] \lambda = \mu \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da primeira equação 1+\lambda = 1+\mu\] segue \[\lambda=\mu.\] - Da segunda equação \(-1=\mu-1 segue \mu=0.
  • Usando \mu=0 e \lambda=\mu obtemos \lambda=0.
  • Verificar a terceira equação: \lambda=\mu é satisfeita por \lambda=0,\mu=0.
Portanto existe solução \lambda=0,\mu=0. Substituindo em qualquer das parametrizações obtemos o ponto comum:
( x,y,z ) = (1+\lambda,\,-1,\\ \lambda) \Big|_{\lambda=0} = (1,-1,0).]

Passo 5

Interpretação final (guia prático para prova): já vimos que os vetores diretores não são proporcionais (logo não paralelas) e que existe um par (\lambda,\mu) que iguala as coordenadas (logo há ponto em comum). Essas duas condições juntas implicam que as retas se interceptam em exatamente um ponto — isto é, são concorrentes (intersectam-se).
Dica rápida para aplicar esse método na prova:
  • Primeiro pegue os vetores diretores e verifique proporcionalidade (se proporcionais, então paralelas ou coincidentes; aí é preciso verificar se algum ponto de uma pertence à outra para decidir coincidência).
  • Se não forem proporcionais, tente resolver o sistema obtido igualando as parametrizações; se for compatível com solução, as retas intersectam; se for incompatível, são reversas (skew).

Resposta

As retas r e s intersectam-se no ponto (1,-1,0).

Exercícios relacionados