Seja x(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 1<t<2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.á e h(t)=\left\{\begin{array}{ll}2, & 1<t<4 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{array}\right.á, calcule y(t)=x(t) * h(t).

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções tempo-contínuo e pede a convolução entre elas. Vou listar com clareza o que foi dado e o que é pedido.
  • x(t)\) é um pulso retangular de amplitude \(1\) e suporte \(1<t<2\). Ou seja: \[x(t)=\begin{cases} 1, & 1<t<2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
  • h(t)\] é um pulso retangular de amplitude \[2 e suporte 1<t<4. Ou seja:
h(t)=\begin{cases} 2, & 1<t<4,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
  • O que pedir: calcular y(t)=x(t)*h(t)\], isto é a convolução temporal entre \(x e h.]

Passo 2

Lembrete prático e interpretação física da convolução (passo-a-passo didático).
  • Definição usada: para sinais de tempo contínuo a convolução é
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
onde \tau é a variável de integração (tempo “deslocado”). Isso significa: “fixa um tempo t, desliza h (inverte e desloca) e integra a área de produto onde os dois sinais se sobrepõem”.
  • Aqui x(\tau) é não nulo apenas para \tau\in(1,2).
  • A função h(t-\tau) é não nula quando t-\tau\in(1,4), ou seja quando \tau\in(t-4,t-1).
  • Portanto, para um dado t a região de integração não é toda a reta, mas a interseção dos intervalos (1,2) e (t-4,t-1). Vou usar isso explicitamente para limitar os limites da integral.

Passo 3

Determinar os limites de integração pela interseção dos suportes.
  • x(\tau) não nulo em (1,2).
  • h(t-\tau) não nulo em (t-4,t-1).
  • A interseção é o intervalo
\big(1,2\big)\cap\big(t-4,t-1\big)=\big(\max(1,t-4),\\ \min(2,t-1)\big),
quando \min(2,t-1)>\max(1,t-4); caso contrário a interseção é vazia e a integral vale zero.
  • Dentro dessa interseção temos x(\tau)=1 e h(t-\tau)=2. Portanto, quando há sobreposição,
y(t)=\int_{\max(1,t-4)}^{\min(2,t-1)} 1\cdot 2\,d\tau =2\big(\min(2,t-1)-\max(1,t-4)\big).
Se \min(2,t-1)\le\max(1,t-4), então y(t)=0.

Passo 4

Determinar o suporte de y(t) (onde a sobreposição é possível).
A sobreposição existe se e somente se os intervalos (1,2) e (t-4,t-1) se cruzam. Isso ocorre quando
t-1>1 \quad\text{e}\quad t-4<2,
isto é
t>2 \quad\text{e}\quad t<6.
Logo o suporte de y(t) é 2<t<6. Fora desse intervalo y(t)=0.

Passo 5

Calcular y(t) explicitamente em trechos (fatiamento do intervalo 2<t<6).
Precisamos analisar como se comportam \min(2,t-1) e \max(1,t-4) conforme t.
  1. Para 2<t<3: tem t-1<2 e t-4<1. Então \min(2,t-1)=t-1 e \max(1,t-4)=1. Assim
y(t)=2\big((t-1)-1\big)=2(t-2).
  1. Para 3\le t\le5: tem t-1\ge2 (logo \min(2,t-1)=2) e t-4\le1 (logo \max(1,t-4)=1). Assim
y(t)=2(2-1)=2.
(é um platô constante).
  1. Para 5<t<6: tem t-1\ge2 (logo \min(2,t-1)=2) e t-4>1 (logo \max(1,t-4)=t-4). Assim
y(t)=2\big(2-(t-4)\big)=2(6-t).
Verificação das junções:
  • Em t\to2^+: 2(t-2)\to0 compatível com y(t)=0 para t\le2.
  • Em t=3: 2(t-2)=2 casa com o platô 2.
  • Em t=5: platô 2 casa com o início da queda 2(6-5)=2.
  • Em t\to6^-: 2(6-t)\to0, compatível com y(t)=0 para t\ge6.
Interpretação final: o resultado é um pulso que sobe linearmente de 0 até 2 no intervalo 2<t<3, fica constante 2 em 3\le t\le5 e decresce linearmente a zero em 5<t<6. Em termos geométricos é a área de sobreposição entre os retângulos; por isso surgem rampas e um platô.

Resposta

y(t)=\begin{cases} 0, & t\le 2,\\[4pt] 2(t-2), & 2<t<3,\\[6pt] 2, & 3\le t\le 5,\\[6pt] 2(6-t), & 5<t<6,\\[6pt] 0, & t\ge 6. \end{cases}]

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