Sendo x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n-1] e h[n]=u[n+1], encontre y[n], tal que y[n]=x[n] * h[n].

Passo 1

O enunciado dá as sequências discretas:
  • x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n-1].
  • h[n]=u[n+1].
O que é pedido:
  • Encontrar y[n] tal que y[n]=x[n]*h[n], ou seja, o sinal de saída obtido pela convolução discreta de x com h.
Informações relevantes que o enunciado fornece (listadas claramente):
  • u[n] é a função degrau unitário: vale 1 para n\ge 0 e 0 para n<0.
  • A expressão de x[n] envolve u[n-1], portanto x[n] é não nula apenas para n\ge 1.
  • A expressão de h[n] é u[n+1], portanto h[n] é não nula para n\ge -1.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (a ferramenta básica): a convolução discreta entre duas sequências x[n] e h[n] é dada por
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • k é o índice de soma (soma sobre todos os instantes possíveis).
  • Para cada k calculamos o produto x[k]\,h[n-k] e somamos.
  • Na prática, a soma se reduz apenas aos k onde ambos x[k] e h[n-k] forem não nulos (porque zeros não contribuem).

Passo 3

Determinar onde x[k] e h[n-k] são não nulos:
  • Como x[k]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} u[k-1], tem-se x[k]\neq 0 somente quando k\ge 1.
  • Como h[n-k]=u[n-k+1], tem-se h[n-k]\neq 0 somente quando n-k+1\ge 0, ou seja, quando k\le n+1.
Portanto, para um dado n, os termos não nulos da soma estão nos k que satisfazem as duas condições simultaneamente:
k\ge 1 \quad\text{e}\quad k\le n+1.
Isto dá os limites da soma:
  • Se n+1<1 (ou seja, n<0) não existe k que satisfaça ambas, logo a soma é vazia e y[n]=0 para n<0.
  • Se n\ge 0, então a soma vai de k=1 até k=n+1.

Passo 4

Escrever a soma efetiva para n\ge 0:
y[n]=\sum_{k=1}^{n+1} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k},\qquad n\ge 0,
e
y[n]=0,\qquad n<0.
Agora vamos calcular explicitamente a soma geométrica. Lembrete rápido sobre soma geométrica finita:
  • Para r\neq 1,
\sum_{k=0}^{m-1} r^{k} = \frac{1-r^{m}}{1-r}.
Aqui a soma começa em k=1, então ajustamos a fórmula.

Passo 5

Calcular a soma \sum_{k=1}^{n+1} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} usando a fórmula da soma geométrica:
Primeiro escrevemos a soma começando em k=0:
\sum_{k=0}^{n+1} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} = \frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+2}}{1-\tfrac{1}{2}}.
Então subtraímos o termo k=0 (que é 1) para obter a soma de k=1 até n+1:
\sum_{k=1}^{n+1} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{k} = \frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+2}}{1-\tfrac{1}{2}} - 1.
Como 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, simplificamos:
\frac{1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+2}}{\tfrac{1}{2}} - 1 = 2\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+2}\right)-1 = 2 - 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+2} -1 =1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+1}.
(Observe a manipulação: 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+1}.)

Passo 6

Portanto, reescrevendo o resultado completo considerando o caso n<0\) e \(n\ge 0\): \[y[n]=\begin{cases} 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+1}, & n\ge 0,\\[6pt] 0, & n<0. \end{cases}
Uma forma compacta usando o degrau unitário é
y[n]=\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+1}\right)u[n].
Como checagem rápida: para n=0\] temos \(y[0]=1-(\tfrac{1}{2})^{1}=\tfrac{1}{2}; para n=-1 a expressão com u[n] dá zero, consistente com a análise dos limites da soma.]

Resposta

y[n]=\left(1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n+1}\right)u[n]

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