Sendo
e
, encontre
, tal que
.
Passo 1
O enunciado dá as sequências discretas:
-
. -
.
O que é pedido:
- Encontrar
tal que , ou seja, o sinal de saída obtido pela convolução discreta de com .
Informações relevantes que o enunciado fornece (listadas claramente):
-
é a função degrau unitário: vale para e para . - A expressão de
envolve , portanto é não nula apenas para . - A expressão de
é , portanto é não nula para .
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (a ferramenta básica): a convolução discreta entre duas sequências
e
é dada por
Explicando essa fórmula passo a passo:
-
é o índice de soma (soma sobre todos os instantes possíveis). - Para cada
calculamos o produto e somamos. - Na prática, a soma se reduz apenas aos
onde ambos e forem não nulos (porque zeros não contribuem).
Passo 3
Determinar onde
e
são não nulos:
- Como
, tem-se somente quando . - Como
, tem-se somente quando , ou seja, quando .
Portanto, para um dado
, os termos não nulos da soma estão nos
que satisfazem as duas condições simultaneamente:
Isto dá os limites da soma:
- Se
(ou seja, ) não existe que satisfaça ambas, logo a soma é vazia e para . - Se
, então a soma vai de até .
Passo 4
Escrever a soma efetiva para
:
e
Agora vamos calcular explicitamente a soma geométrica. Lembrete rápido sobre soma geométrica finita:
- Para
,
Aqui a soma começa em
, então ajustamos a fórmula.
Passo 5
Calcular a soma
usando a fórmula da soma geométrica:
Primeiro escrevemos a soma começando em :
Primeiro escrevemos a soma começando em
Então subtraímos o termo
(que é
) para obter a soma de
até
:
Como
, simplificamos:
(Observe a manipulação:
.)
Passo 6
Portanto, reescrevendo o resultado completo considerando o caso
Uma forma compacta usando o degrau unitário é
Como checagem rápida: para
; para
a expressão com
dá zero, consistente com a análise dos limites da soma.]