Simplifique as seguintes expressões:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: simplificar a expressão booleana.
- Dado:
. - Variáveis envolvidas:
são variáveis booleanas (valores ou ). - Notação usada (para ficar claro):
-
significa NEGAÇÃO de (NOT ). - Justaposição como em
significa E (AND). - O sinal
significa OU lógico (OR).
-
Passo 2
Regra de fatoração (distributiva) que vamos usar e sua explicação.
- Regra:
. - Interpretação: se duas parcelas têm um fator comum
, podemos “colocá-lo em evidência” e somar os outros fatores. - Essa regra é análoga à fatoração em álgebra comum e vale para lógica booleana porque AND distribui sobre OR.
Passo 3
Colocar em evidência o fator comum na expressão original.
- Observando
e , vemos que ambas têm o produto em comum. - Aplicando a distributiva, obtemos:
Passo 4
Identidade booleana útil:
. Vou provar essa identidade passo a passo.
- Começo com a expressão
. - Pela distributiva (forma dual):
. - Mas
(uma variável OU sua negação é sempre verdadeiro). - Assim
. - Portanto a identidade está provada:
(Dica prática: também se pode verificar ponto a ponto usando os valores
e
para ver que ambas as expressões coincidem.)
Passo 5
Aplicar a identidade ao caso concreto e concluir a simplificação (passo final da derivação).
- Na expressão dentro dos parênteses em
, identifique e . - Pela identidade do Passo 4:
. - Substituindo de volta em
obtemos a forma simplificada (expressão fatorada).