Simplifique as seguintes expressões:
Z=\bar{A} B C D+A C D

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: simplificar a expressão booleana.
  • Dado: Z=\bar{A}BCD + ACD.
  • Variáveis envolvidas: A,B,C,D são variáveis booleanas (valores 0 ou 1).
  • Notação usada (para ficar claro):
    • \bar{A} significa NEGAÇÃO de A (NOT A).
    • Justaposição como em BC significa B E C (AND).
    • O sinal + significa OU lógico (OR).

Passo 2

Regra de fatoração (distributiva) que vamos usar e sua explicação.
  • Regra: XY + XZ = X(Y+Z).
  • Interpretação: se duas parcelas têm um fator comum X, podemos “colocá-lo em evidência” e somar os outros fatores.
  • Essa regra é análoga à fatoração em álgebra comum e vale para lógica booleana porque AND distribui sobre OR.

Passo 3

Colocar em evidência o fator comum na expressão original.
  • Observando \bar{A}BCD e ACD, vemos que ambas têm o produto CD em comum.
  • Aplicando a distributiva, obtemos:
Z = CD\bigl(\bar{A}B + A\bigr).

Passo 4

Identidade booleana útil: X + \bar{X}Y = X + Y. Vou provar essa identidade passo a passo.
  • Começo com a expressão X + \bar{X}Y.
  • Pela distributiva (forma dual): X + \bar{X}Y = (X + \bar{X})(X + Y).
  • Mas X + \bar{X} = 1 (uma variável OU sua negação é sempre verdadeiro).
  • Assim (X + \bar{X})(X + Y) = 1\cdot(X+Y) = X + Y.
  • Portanto a identidade está provada: X + \bar{X}Y = X + Y.
(Dica prática: também se pode verificar ponto a ponto usando os valores X=0 e X=1 para ver que ambas as expressões coincidem.)

Passo 5

Aplicar a identidade ao caso concreto e concluir a simplificação (passo final da derivação).
  • Na expressão dentro dos parênteses em Z = CD\bigl(\bar{A}B + A\bigr), identifique X=A e Y=B.
  • Pela identidade do Passo 4: \bar{A}B + A = A + B.
  • Substituindo de volta em Z obtemos a forma simplificada (expressão fatorada).

Resposta

Z = CD\,(A + B)

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