Seja X uma v.a. contínua distribuída uniformemente em [-a, a], donde a>0. Determinar a, se é possível, tal que:
P(|X|>1)=P(|X|<1),

Passo 1

O enunciado diz que X é uniforme em [-a,a] com a>0. Queremos achar a tal que
P(|X|>1)=P(|X|<1).
Para isso usamos que a densidade de X é f_X(x)=1/(2a) em [-a,a] e zero fora.

Passo 2

Primeiro, P(|X|<1). Se a<1, então |X|<1 é todo o suporte e P(|X|<1)=1, mas aí P(|X|>1)=0\neq1, sem solução. Para a\ge1, o evento |X|<1 corresponde ao intervalo [-1,1] de comprimento 2, logo
P(|X|<1)=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}

Passo 3

Ainda para a\ge1, temos
P(|X|>1)=1-P(|X|\le1)=1-P(|X|<1)=1-\frac{1}{a}

Passo 4

Impondo P(|X|>1)=P(|X|<1) para a\ge1, obtemos
1-\frac{1}{a}=\frac{1}{a}
1=\frac{2}{a} a=2 Como 2\ge1, essa solução é válida.

Resposta

a=2

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