Sendo X \sim U[0,4], determine:
P\left(|X-\mu|<\frac{1}{2}\right)

Passo 1

O enunciado diz que X\sim U[0,4] (distribuição uniforme contínua no intervalo de 0 a 4) e pede
P\Bigl(|X-\mu|<\tfrac12\Bigr),
onde \mu é a esperança de X. Vamos usar as fórmulas da média da uniforme e a definição de probabilidade para variáveis contínuas.

Passo 2

Para X\sim U[a,b], a média é
\mu = \frac{a+b}{2}.
Aqui a=0 e b=4, logo
\mu = \frac{0+4}{2} = 2.

Passo 3

O evento \bigl|X-\mu\bigr|<\tfrac12 equivale a
2 - \tfrac12 < X < 2 + \tfrac12
ou seja
\tfrac{3}{2} < X < \tfrac{5}{2},
isto é, X está em (1,5,\,2,5).

Passo 4

A densidade de X é
f_X(x)=\frac{1}{4-0}=\frac14 \quad\text{para }0\le x\le4.
Então
P\bigl(\tfrac{3}{2}<X<\tfrac{5}{2}\bigr) =\int_{3/2}^{5/2}\frac14\,dx =\frac14\Bigl(\tfrac{5}{2}-\tfrac{3}{2}\Bigr) =\frac14\cdot1 =\frac14.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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