Seja X uma V.A com média
e variância
. Use a desigualdade de Tchebyschev para verificar que
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com média
e variância
. A pergunta é verificar que
para todo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A média (esperança) de
é . - A variância de
é . - Quer-se o limite quando
da probabilidade do evento , para dado .
Passo 2
Vamos lembrar e entender a desigualdade de Tchebyschev. Ela afirma, para qualquer variável aleatória
com esperança
e variância
, que, para todo
,
Explicando cada peça:
-
é a média (esperança) de ; aqui . -
é a variância. - A desigualdade dá um limite superior da probabilidade de
se afastar da média mais do que : maior variância → maior essa probabilidade; menor → maior a probabilidade.
Se quiser uma derivação curta (útil pra prova): aplique a desigualdade de Markov à variável não-negativa
. Markov diz que, para
e
,
Tomando
e
obtemos exatamente Tchebyschev:
Passo 3
Agora aplicamos Tchebyschev ao caso concreto. Como
e
, para todo
vale
Aqui eu peguei
da informação dada no enunciado.
Passo 4
Observe que o lado direito
é uma sequência em
que tende a zero quando
, pois
e
são constantes fixas positivas. Formalmente,
Passo 5
Usando a desigualdade encontrada e o fato anterior, temos para todo
Pelo lema do confronto (squeeze theorem), como o majorante
tende a
quando
, segue que
Passo 6
Interpretação rápida e encorajamento: isso mostra que a probabilidade de
diferir da média
por pelo menos
vai a zero quando
cresce. Em linguagem de convergência,
converge em probabilidade para
. Vai dar certo na prova — use exatamente esses passos: aplicar Tchebyschev com a variância dada e tomar o limite.