Seja X uma V.A com média \mu e variância \frac{\sigma^{2}}{n}. Use a desigualdade de Tchebyschev para verificar que \lim _{n \rightarrow \infty} P(|X-\mu| \geq \epsilon)=0

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com média \mu e variância \dfrac{\sigma^{2}}{n}. A pergunta é verificar que
\lim_{n \rightarrow \infty} P\bigl(|X-\mu| \geq \epsilon\bigr)=0
para todo \epsilon>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A média (esperança) de X é \mu.
  • A variância de X é \mathrm{Var}(X)=\dfrac{\sigma^{2}}{n}.
  • Quer-se o limite quando n\to\infty da probabilidade do evento |X-\mu|\ge\epsilon, para dado \epsilon>0.

Passo 2

Vamos lembrar e entender a desigualdade de Tchebyschev. Ela afirma, para qualquer variável aleatória X com esperança E[X] e variância \mathrm{Var}(X), que, para todo \epsilon>0,
P\bigl(|X-E[X]|\ge\epsilon\bigr)\le\frac{\mathrm{Var}(X)}{\epsilon^{2}}.
Explicando cada peça:
  • E[X] é a média (esperança) de X; aqui E[X]=\mu.
  • \mathrm{Var}(X)=E\bigl[(X-E[X])^{2}\bigr] é a variância.
  • A desigualdade dá um limite superior da probabilidade de X se afastar da média mais do que \epsilon: maior variância → maior essa probabilidade; menor \epsilon → maior a probabilidade.
Se quiser uma derivação curta (útil pra prova): aplique a desigualdade de Markov à variável não-negativa Y=(X-E[X])^{2}. Markov diz que, para Y\ge0 e a>0,
P(Y\ge a)\le\frac{E[Y]}{a}.
Tomando Y=(X-E[X])^{2} e a=\epsilon^{2} obtemos exatamente Tchebyschev:
P\bigl(|X-E[X]|\ge\epsilon\bigr)=P\bigl((X-E[X])^{2}\ge\epsilon^{2}\bigr)\le\frac{E\bigl[(X-E[X])^{2}\bigr]}{\epsilon^{2}}=\frac{\mathrm{Var}(X)}{\epsilon^{2}}.

Passo 3

Agora aplicamos Tchebyschev ao caso concreto. Como E[X]=\mu e \mathrm{Var}(X)=\dfrac{\sigma^{2}}{n}, para todo \epsilon>0 vale
P\bigl(|X-\mu|\ge\epsilon\bigr)\le\frac{\mathrm{Var}(X)}{\epsilon^{2}}=\frac{\sigma^{2}}{n\,\epsilon^{2}}.
Aqui eu peguei \mathrm{Var}(X)=\dfrac{\sigma^{2}}{n} da informação dada no enunciado.

Passo 4

Observe que o lado direito \dfrac{\sigma^{2}}{n\,\epsilon^{2}} é uma sequência em n que tende a zero quando n\to\infty, pois \sigma^{2} e \epsilon^{2} são constantes fixas positivas. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{\sigma^{2}}{n\,\epsilon^{2}}=0.

Passo 5

Usando a desigualdade encontrada e o fato anterior, temos para todo n
0\le P\bigl(|X-\mu|\ge\epsilon\bigr)\le\frac{\sigma^{2}}{n\,\epsilon^{2}}.
Pelo lema do confronto (squeeze theorem), como o majorante \dfrac{\sigma^{2}}{n\,\epsilon^{2}} tende a 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty} P\bigl(|X-\mu|\ge\epsilon\bigr)=0.

Passo 6

Interpretação rápida e encorajamento: isso mostra que a probabilidade de X diferir da média \mu por pelo menos \epsilon vai a zero quando n cresce. Em linguagem de convergência, X converge em probabilidade para \mu. Vai dar certo na prova — use exatamente esses passos: aplicar Tchebyschev com a variância dada e tomar o limite.

Resposta

\lim_{n \rightarrow \infty} P\bigl(|X-\mu| \geq \epsilon\bigr)=0

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