Prove que se X é uma V.A., com densidade f_{X}(x), e Y=X^{2}, então f_{Y}(y)=\frac{1}{2 \sqrt{y}}\left(f_{X}(\sqrt{y})+f_{X}(-\sqrt{y})\right..

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (clarinho):
  • Dado: X é uma variável aleatória com densidade f_{X}(x).
  • Definição: Y = X^{2}.
  • Pedido: provar que
f_{Y}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_{X}(\sqrt{y})+f_{X}(-\sqrt{y})\bigr).
Observação imediata sobre domínio: Y=X^{2} só assume valores y\ge 0. Logo faz sentido tratar separadamente os casos y<0 e y\ge 0.

Passo 2

Calcular a função de distribuição acumulada (CDF) de Y. Isto é a forma mais direta e elementar de obter a densidade depois por diferenciação.
Para y<0 temos \mathbb{P}(Y\le y)=0 porque Y=X^{2}\ge 0 sempre. Portanto
F_{Y}(y)=0\quad\text{para }y<0.
Para y\ge 0 o evento \{Y\le y\} é equivalente a \{X^{2}\le y\}, isto é \{-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\}. Assim, usando que X tem densidade f_{X},
F_{Y}(y)=\mathbb{P}(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}) =\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_{X}(x)\,dx, \qquad y\ge 0.

Passo 3

Agora obtemos a densidade f_{Y} diferenciando F_{Y} quando y>0. Vou usar a regra de diferenciação de uma integral com limites que dependem de y (regra de Leibniz para limites variáveis):
Se A(y)=\int_{a(y)}^{b(y)} f(x)\,dx então
A'(y)=f\bigl(b(y)\bigr)\,b'(y)-f\bigl(a(y)\bigr)\,a'(y),
desde que tudo seja suficientemente regular (aqui f_{X} é densidade e a,b são diferenciáveis).
No nosso caso a(y)=-\sqrt{y} e b(y)=\sqrt{y}. Calculamos as derivadas dos limites:
\frac{d}{dy}\sqrt{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}},\qquad \frac{d}{dy}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)=-\frac{1}{2\sqrt{y}}.

Passo 4

Aplicando a regra de Leibniz a F_{Y}(y)=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_{X}(x)\,dx para y>0, obtemos
f_{Y}(y)=\frac{d}{dy}F_{Y}(y) = f_{X}\bigl(\sqrt{y}\bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} - f_{X}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{y}}\Bigr).
Somando os termos dá exatamente
f_{Y}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\Bigl(f_{X}\bigl(\sqrt{y}\bigr)+f_{X}\bigl(-\sqrt{y}\bigr)\Bigr), \qquad y>0.

Passo 5

Tratar o caso y<0 e y=0:
  • Para y<0 já vimos que F_{Y}(y)=0, logo f_{Y}(y)=0 para y<0.
  • Em y=0 a fórmula direta acima tem o problema do denominador 2\sqrt{y} igual a zero; a densidade em 0 deve ser entendida no sentido de limite
f_{Y}(0)=\lim_{y\downarrow 0}\frac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_{X}(\sqrt{y})+f_{X}(-\sqrt{y})\bigr),
quando esse limite existir finitamente. Em muitas situações esse limite diverge (por exemplo se f_{X}(0)>0 o termo escala como 1/\sqrt{y}), mas a fórmula para y>0 é a expressão correta da densidade quase em todo lugar, e a massa em torno de 0 é tratada pela integral da densidade.

Passo 6

Comentário adicional (fórmula geral de transformação): existe uma regra geral mais curta que muitos usam: se Y=g(X) e g é diferenciável e cada valor y tem um número finito de pré-imagens x_{i} com g'(x_{i})\neq 0, então
f_{Y}(y)=\sum_{i}\frac{f_{X}(x_{i})}{\bigl|g'(x_{i})\bigr|}.
Aplicando com g(x)=x^{2} e x_{1}=\sqrt{y},\,x_{2}=-\sqrt{y} e g'(x)=2x obtemos
f_{Y}(y)=\frac{f_{X}(\sqrt{y})}{|2\sqrt{y}|}+\frac{f_{X}(-\sqrt{y})}{|-2\sqrt{y}|} =\frac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_{X}(\sqrt{y})+f_{X}(-\sqrt{y})\bigr),
novamente para y>0. Esta é outra maneira rápida de chegar ao mesmo resultado e explica por que aparecem as duas raízes.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: se X\sim N(0,1) então f_{X}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2} é par, logo f_{X}(\sqrt{y})=f_{X}(-\sqrt{y}) e
f_{Y}(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot 2\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y/2} =\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}\,e^{-y/2}, \qquad y>0,
que é a densidade de \chi^{2} com um grau de liberdade, como esperado.

Resposta

f_{Y}(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_{X}(\sqrt{y})+f_{X}(-\sqrt{y})\bigr), & y>0,\\[6pt] 0, & y<0. \end{cases}]

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