Prove a desigualdade de Tchebyschev:
. Dica: use o fato de que
é equivalente a
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: provar a desigualdade de Tchebyschev
- Dados:
-
é uma variável aleatória (pode ser discreta ou contínua; não precisamos especificar aqui). -
é uma constante real qualquer. -
é um número real positivo.
-
- Observação importante (dica do enunciado): a condição
é equivalente a . Iremos usar a versão contrária: quando temos .
Passo 2
Definir o evento que interessa e a função indicadora.
- Defina o evento
ou abreviado
.
- Defina a função indicadora do evento
, denotada por , que vale
- Lembrete útil e simples: a esperança da indicadora é a probabilidade do evento:
Isto é uma propriedade básica das esperanças e indicadoras.]
Passo 3
Comparação ponto a ponto entre
e
.
- Para cada
existem duas situações: - Se
(ou seja ), então e . Portanto
- Se
(ou seja ), então e . Portanto também
- Se
- Conclusão ponto a ponto (ou quase certo): a desigualdade
valeu para todo
(ou seja, quase certamente). Essa desigualdade é a chave: ela diz que o quadrado da distância domina
vezes a indicadora do evento de interesse.
Passo 4
Tomar esperança dos dois lados e usar propriedades da esperança.
- Aplicando esperança em ambos lados da desigualdade obtida:
- A esperança de uma constante vezes uma variável é a constante vezes a esperança, então
- E já lembramos que
. Portanto
Passo 5
Isolar a probabilidade e concluir a desigualdade de Tchebyschev.
- Dividindo ambos os lados por
obtemos:
- Essa é exatamente a desigualdade pedida. Intuitivamente: a esperança do quadrado das perdas controla a probabilidade de uma perda grande.
Passo 6
Comentário final (interpretação e casos especiais).
- Um caso muito usado é
. Como , a desigualdade vira
que é a forma clássica da desigualdade de Tchebyschev usada para quantificar concentração em torno da média.
- Dica prática para prova: é curto e elegante usar o argumento acima com a indicadora; alternativamente, pode-se ver isso como um caso especial da desigualdade de Markov aplicada à v.a. não negativa
.