Prove a desigualdade de Tchebyschev: P|X-c| \geq \epsilon) \leq \frac{E\left[(X-C)^{2}\right]}{\epsilon^{2}}. Dica: use o fato de que |x-c| \leq \epsilon é equivalente a \frac{(x-c)^{2}}{\epsilon^{2}} \leq 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: provar a desigualdade de Tchebyschev
P\bigl(|X-c|\geq \epsilon\bigr)\leq \frac{E\bigl[(X-c)^{2}\bigr]}{\epsilon^{2}}.
  • Dados:
    • X é uma variável aleatória (pode ser discreta ou contínua; não precisamos especificar aqui).
    • c é uma constante real qualquer.
    • \epsilon>0 é um número real positivo.
  • Observação importante (dica do enunciado): a condição |x-c|\leq \epsilon é equivalente a \dfrac{(x-c)^{2}}{\epsilon^{2}}\leq 1. Iremos usar a versão contrária: quando |x-c|\geq\epsilon temos (x-c)^{2}\geq\epsilon^{2}.

Passo 2

Definir o evento que interessa e a função indicadora.
  • Defina o evento
A=\{\,\omega:\\ |X(\omega)-c|\geq \epsilon\,\},
ou abreviado A=\{\,|X-c|\geq\epsilon\,\}.
  • Defina a função indicadora do evento A, denotada por I_{A}, que vale
I_{A}(\omega)= \begin{cases} 1,&\text{se }\omega\in A,\\[4pt] 0,&\text{se }\omega\notin A. \end{cases}
  • Lembrete útil e simples: a esperança da indicadora é a probabilidade do evento:
E[I_{A}]=P(A)=P\bigl(|X-c|\geq\epsilon\bigr).
Isto é uma propriedade básica das esperanças e indicadoras.]

Passo 3

Comparação ponto a ponto entre (X-c)^{2} e \epsilon^{2}I_{A}.
  • Para cada \omega existem duas situações:
    1. Se \omega\in A (ou seja |X(\omega)-c|\geq\epsilon), então (X(\omega)-c)^{2}\geq\epsilon^{2} e I_{A}(\omega)=1. Portanto
    (X(\omega)-c)^{2}\geq \epsilon^{2}\,I_{A}(\omega).
    1. Se \omega\notin A (ou seja |X(\omega)-c|<\epsilon), então (X(\omega)-c)^{2}\geq 0 e I_{A}(\omega)=0. Portanto também
    (X(\omega)-c)^{2}\geq \epsilon^{2}\,I_{A}(\omega).
  • Conclusão ponto a ponto (ou quase certo): a desigualdade
(X-c)^{2}\geq \epsilon^{2}I_{A}
valeu para todo \omega (ou seja, quase certamente). Essa desigualdade é a chave: ela diz que o quadrado da distância domina \epsilon^{2} vezes a indicadora do evento de interesse.

Passo 4

Tomar esperança dos dois lados e usar propriedades da esperança.
  • Aplicando esperança em ambos lados da desigualdade obtida:
E\bigl[(X-c)^{2}\bigr]\geq E\bigl[\epsilon^{2}I_{A}\bigr].
  • A esperança de uma constante vezes uma variável é a constante vezes a esperança, então
E\bigl[\epsilon^{2}I_{A}\bigr]=\epsilon^{2}E\bigl[I_{A}\bigr].
  • E já lembramos que E[I_{A}]=P(A)=P\bigl(|X-c|\geq\epsilon\bigr). Portanto
E\bigl[(X-c)^{2}\bigr]\geq \epsilon^{2}P\bigl(|X-c|\geq\epsilon\bigr).

Passo 5

Isolar a probabilidade e concluir a desigualdade de Tchebyschev.
  • Dividindo ambos os lados por \epsilon^{2}>0 obtemos:
P\bigl(|X-c|\geq\epsilon\bigr)\leq \frac{E\bigl[(X-c)^{2}\bigr]}{\epsilon^{2}}.
  • Essa é exatamente a desigualdade pedida. Intuitivamente: a esperança do quadrado das perdas controla a probabilidade de uma perda grande.

Passo 6

Comentário final (interpretação e casos especiais).
  • Um caso muito usado é c=E[X]. Como E\bigl[(X-E[X])^{2}\bigr]=\operatorname{Var}(X), a desigualdade vira
P\bigl(|X-E[X]|\geq\epsilon\bigr)\leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^{2}},
que é a forma clássica da desigualdade de Tchebyschev usada para quantificar concentração em torno da média.
  • Dica prática para prova: é curto e elegante usar o argumento acima com a indicadora; alternativamente, pode-se ver isso como um caso especial da desigualdade de Markov aplicada à v.a. não negativa (X-c)^{2}.

Resposta

P\bigl(|X-c|\geq\epsilon\bigr)\leq \frac{E\bigl[(X-c)^{2}\bigr]}{\epsilon^{2}}.

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