Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { se } x<0 \\\\ 1-e^{-k x}, & \text { se } x \geq 0 \end{array}, p / \text { qualquer } k>0 .\right.
a) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X}>1);
b) Calcule \mathrm{P}(1<\mathrm{X}<2);
c) Qual o valor de k para que \mathrm{P}[\mathrm{X} \leq-\ln (0,5)]=0,5;
d) Obtenha a função densidade de probabilidades da variável X ;

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória contínua X\) com função de distribuição acumulada \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 1-e^{-k x}, & x\ge0, \end{cases} \quad k>0.
Vamos usar propriedades de CDF para calcular P(X>1)\] e \(P(1<X<2), resolver uma equação envolvendo F para encontrar k e, por fim, derivar F para obter a densidade f.

Passo 2

Para calcular P(X>1) usamos a relação
P(X>1)=1-F(1).
Como 1\ge0,
F(1)=1-e^{-k\cdot1}=1-e^{-k},
logo
P(X>1)=1-\bigl(1-e^{-k}\bigr)=e^{-k}.

Passo 3

Para calcular P(1<X<2) usamos a diferença de CDFs:
P(1<X<2)=F(2)-F(1).
Como 2\ge0 e 1\ge0,
F(2)=1-e^{-2k}, \quad F(1)=1-e^{-k},
portanto
P(1<X<2)=(1-e^{-2k})-(1-e^{-k})=e^{-k}-e^{-2k}.

Passo 4

Queremos P\bigl[X\le -\ln(0,5)\bigr]=0,5. Note que -\ln(0,5)>0, então
F\bigl(-\ln(0,5)\bigr) =1-\exp\bigl(-k\bigl(-\ln(0,5)\bigr)\bigr) =1-\exp\bigl(k\ln(0,5)\bigr) =1-(0,5)^{k}.
Devemos ter
1-(0,5)^{k}=0,5 \quad\Longrightarrow\quad (0,5)^{k}=0,5 \quad\Longrightarrow\quad k=1.

Passo 5

A densidade f(x) é a derivada de F(x). Para x<0, F é constante zero, logo f(x)=0. Para x>0,
f(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1-e^{-k x}\bigr) =k\,e^{-k x}.
Assim,
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ k\,e^{-k x}, & x\ge0. \end{cases}

Resposta

a) P(X>1)=e^{-k}.
b) P(1<X<2)=e^{-k}-e^{-2k}.
c) k=1.
d)
f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ k\,e^{-k x}, & x\ge0. \end{cases}

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