Seja X uma variável aleatória contínua com função de distribuição acumulada:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { se } x<0 \\\\ 1-e^{-k x}, & \text { se } x \geq 0 \end{array}, p / \text { qualquer } k>0 .\right.
a) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X}>1);
b) Calcule \mathrm{P}(1<\mathrm{X}<2);
c) Qual o valor de k para que \mathrm{P}[\mathrm{X} \leq-\ln (0,5)]=0,5;
d) Obtenha a função densidade de probabilidades da variável X ;
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória contínua X\) com função de distribuição acumulada
\[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\\ 1-e^{-k x}, & x\ge0, \end{cases} \quad k>0.
Vamos usar propriedades de CDF para calcular P(X>1)\] e \(P(1<X<2), resolver uma equação envolvendo F para encontrar k e, por fim, derivar F para obter a densidade f.
Passo 2
Para calcular P(X>1) usamos a relação
P(X>1)=1-F(1).
Como 1\ge0,
F(1)=1-e^{-k\cdot1}=1-e^{-k},
logo
P(X>1)=1-\bigl(1-e^{-k}\bigr)=e^{-k}.
Passo 3
Para calcular P(1<X<2) usamos a diferença de CDFs:
P(1<X<2)=F(2)-F(1).
Como 2\ge0 e 1\ge0,
F(2)=1-e^{-2k}, \quad F(1)=1-e^{-k},
portanto
P(1<X<2)=(1-e^{-2k})-(1-e^{-k})=e^{-k}-e^{-2k}.
Passo 4
Queremos P\bigl[X\le -\ln(0,5)\bigr]=0,5. Note que -\ln(0,5)>0, então