Seja
uma variável aleatória com densidade
Obtenha a média e a variância da variável aleatória
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem? Uma variável contínua X que vale entre –1 e 1, e a densidade é
O que a gente quer? A média (E[X]) e a variância (Var(X)).
Para isso, primeiro precisamos achar o tal do c (normalização), depois usar as fórmulas:
- E[X] = ∫ x f(x) dx
- E[X²] = ∫ x² f(x) dx
- Var(X) = E[X²] – (E[X])²
Passo 2
Normalização: a densidade tem que integrar 1 em todo o domínio:
Calculemos a integral:
Então
Passo 3
Média E[X]:
Como x³ é função ímpar e o intervalo é simétrico, dá zero:
Passo 4
Segundo momento E[X²]:
Calculemos:
Então
Passo 5
Variância Var(X):
Resposta
A média é
A variância é