Seja X uma variável aleatória com densidade
f(x)=c x^2,-1
Obtenha a média e a variância da variável aleatória X.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem? Uma variável contínua X que vale entre –1 e 1, e a densidade é
f(x)=c,x^2, -1
O que a gente quer? A média (E[X]) e a variância (Var(X)).
Para isso, primeiro precisamos achar o tal do c (normalização), depois usar as fórmulas:
- E[X] = ∫ x f(x) dx
- E[X²] = ∫ x² f(x) dx
- Var(X) = E[X²] – (E[X])²

Passo 2

Normalização: a densidade tem que integrar 1 em todo o domínio:
integral-1^1f(x),dx=1 ;;Longrightarrow;; integral-1^1c,x^2,dx=1
Calculemos a integral:
integral-1^1x^2,dx = [x^33]-1^1 = 1^33-(-1)^33 = 13-l(-13r)=23
Então
ccdot23=1 Longrightarrow c=32

Passo 3

Média E[X]:
E[X]=integral-1^1x,f(x),dx = integral-1^1xcdot32x^2,dx = 32integral-1^1x^3,dx
Como x³ é função ímpar e o intervalo é simétrico, dá zero:
integral-1^1x^3,dx=0 Longrightarrow E[X]=0

Passo 4

Segundo momento E[X²]:
E[X^2]=integral-1^1x^2,f(x),dx = 32integral-1^1x^4,dx
Calculemos:
integral-1^1x^4,dx=[x^55]-1^1=15-l(-15r)=25
Então
E[X^2]=32cdot25=35

Passo 5

Variância Var(X):
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2 = 35 - (0)^2 = 35

Resposta

A média é E[X]=0
A variância é Var(X)=tfrac35

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