Dada a distribuição conjunta de
e
abaixo, determine a média, variância de
, o coeficiente de correlação entre
e
. As variáveis são independentes?
Tabela 2: Distribuição conjunta de
\
hline
multicolumn{4}{c}
hline
1
2
3
hline 1
0,1
0,1
0,0
2
0,1
0,2
0,3
3
0,1
0,1
0,0
hline \
Tabela 2: Distribuição conjunta de
hline | |||
multicolumn{4}{c}
|
|||
hline
|
1 | 2 | 3 |
hline 1 | 0,1 | 0,1 | 0,0 |
2 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
3 | 0,1 | 0,1 | 0,0 |
hline \ |
Passo 1
Beleza, então o exercício tá pedindo pra gente, dado uma tabela com a distribuição conjunta de duas variáveis discretas
e
, achar:
- a média e a variância de
, - o coeficiente de correlação entre
e , - dizer se elas são independentes.
Conteúdo que vamos usar:
- Como montar as distribuições marginais a partir da conjunta;
- Definições de esperança (média), variância, covariância e correlação;
- Propriedades de soma de variáveis aleatórias;
- Critério de independência (
).
Passo 2
Primeiro a gente precisa das marginais
e
. Basta somar a tabela:
Para cada
:
Para cada
:
Passo 3
Agora calcula a média (esperança) de cada uma. Lembrando que
Então:
$$
E(X)=1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}4+3\cdot0{,}3=0{,}3+0{,}8+0{,}9=2{,}0,
$$
Passo 4
Pra variância precisamos de
e
, e usar
Calculando:
Passo 5
Agora a covariância. Primeiro
Fazendo a conta célere direto na tabela: dá
.
Então
Então
Passo 6
Com a covariância em mãos, o coeficiente de correlação é
Passo 7
Pra soma
:
- A média é
. - A variância é
Passo 8
Por fim, independência: em geral a gente verifica se
Basta um contraexemplo: por exemplo
Logo não são independentes.
Resposta
E(X+Y)=4,0; Var(X+Y)=1,0; coeficiente de correlação =0; não são independentes.