Dada a distribuição conjunta de X e Y abaixo, determine a média, variância de X+Y, o coeficiente de correlação entre X e Y. As variáveis são independentes?
Tabela 2: Distribuição conjunta de (X, Y)
\
hline
multicolumn{4}{c} l|lll hline mu
hline 1 2 3
hline 1 0,1 0,1 0,0
2 0,1 0,2 0,3
3 0,1 0,1 0,0
hline \

Passo 1

Beleza, então o exercício tá pedindo pra gente, dado uma tabela com a distribuição conjunta de duas variáveis discretas X e Y, achar:
  1. a média e a variância de X+Y,
  2. o coeficiente de correlação entre X e Y,
  3. dizer se elas são independentes.
Conteúdo que vamos usar:
  • Como montar as distribuições marginais a partir da conjunta;
  • Definições de esperança (média), variância, covariância e correlação;
  • Propriedades de soma de variáveis aleatórias;
  • Critério de independência ( PX,Y(x,y)=PX(x),PY(y)).

Passo 2

Primeiro a gente precisa das marginais PX(x) e PY(y). Basta somar a tabela:
Para cada xin1,2,3:
PX(x)=sumy=1^3 PX,Y(x,y)
  • PX(1)=0,1+0,1+0,1=0,3
  • PX(2)=0,1+0,2+0,1=0,4
  • PX(3)=0,0+0,3+0,0=0,3
Para cada yin1,2,3:
PY(y)=sumx=1^3 PX,Y(x,y)
  • PY(1)=0,1+0,1+0,0=0,2
  • PY(2)=0,1+0,2+0,3=0,6
  • PY(3)=0,1+0,1+0,0=0,2

Passo 3

Agora calcula a média (esperança) de cada uma. Lembrando que
E(X)=sumx x,PX(x), E(Y)=sumy y,PY(y)
Então:
$$
E(X)=1\cdot0{,}3+2\cdot0{,}4+3\cdot0{,}3=0{,}3+0{,}8+0{,}9=2{,}0,
$$
E(X)=1cdot0,3+2cdot0,4+3cdot0,3=0,3+0,8+0,9=2,0,

Passo 4

Pra variância precisamos de E(X^2) e E(Y^2), e usar
Calculando:
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2, Var(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2
E(X^2)=1^2cdot0,3+2^2cdot0,4+3^2cdot0,3 =0,3+1,6+2,7=4,6,

Passo 5

Agora a covariância. Primeiro
E(XY)=sumx,y x,y,PX,Y(x,y)
Fazendo a conta célere direto na tabela: dá E(XY)=4,0.
Então

Passo 6

Com a covariância em mãos, o coeficiente de correlação é

Passo 7

Pra soma X+Y:
  • A média é E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2,0+2,0=4,0.
  • A variância é

Passo 8

Por fim, independência: em geral a gente verifica se
PX,Y(x,y)=PX(x),PY(y)forall,x,y
Basta um contraexemplo: por exemplo (x,y)=(1,1) tem
PX,Y(1,1)=0,1mas PX(1)PY(1)=0,3cdot0,2=0,06neq0,1
Logo não são independentes.

Resposta

E(X+Y)=4,0; Var(X+Y)=1,0; coeficiente de correlação =0; não são independentes.

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