Considerando o exemplo referente a composição de famílias com três crianças apresentado na aula01:
As variáveis X e Z são independentes?

Passo 1

Beleza, então o enunciado pergunta se, num exemplo de uma família com três filhos (cada configuração de meninos/meninas igualmente provável), as variáveis aleatórias X e Z são independentes.
Aqui a matéria é Probabilidade Discreta, mais especificamente Independência de Variáveis Aleatórias. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Definir direitinho X e Z;
  2. Calcular as distribuições marginais P(X=k, Z=z) ;=; P(X=k),P(Z=z) e ;
  3. Calcular a distribuição conjunta ;
  4. Verificar se sempre vale

Passo 2

Primeiro, vamos definir X e Z (como no exemplo de sala):
  • X = número de meninas entre os três filhos (pode ser 0,1,2 ou 3).
  • Z = indicador de “primeiro filho é menina” (ou seja, Z = 1, & se o 1ª filho é menina, 0, & se o 1ª filho é menino ªéªé)
O espaço amostral tem 8 resultados igualmente prováveis:
{MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF},
onde M=menino, F=menina.

Passo 3

Vamos achar as marginais.
  1. P(X=k): como X ~ Binomial(n=3,p=½),
    P(X=k) = binom3k,l(tfrac12r)^3 ;=; binom3k8, k=0,1,2,3
  2. P(Z=1): a probabilidade do primeiro filho ser menina é ½. Logo
    P(Z=1)=tfrac12, P(Z=0)=tfrac12

Passo 4

Agora a conjunta P(X=k, Z=1) = P(1ª=F) times P(entre os 2 ú:
“X=k e primeiro é menina” significa: o primeiro é menina (prob ½) e, dos 2 filhos seguintes, aparecem exatamente P(X=k, Z=1);=;P(X=k),P(Z=1) ;=;binom3k8times tfrac12 = binom3k16, meninas.
Logo
ªú
Para eles serem independentes, precisaríamos ter
para todo . Mas, por exemplo, se :
  • (não tem como ter 0 meninas no total e ainda a primeira ser menina),
  • enquanto .
    0 ≠ 1/16 → já basta pra mostrar que não batem.

Resposta

As variáveis X e Z não são independentes.

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