Considerando o exemplo referente a composição de famílias com três crianças apresentado na aula01:
As variáveis
e
são independentes?
As variáveis
Passo 1
Beleza, então o enunciado pergunta se, num exemplo de uma família com três filhos (cada configuração de meninos/meninas igualmente provável), as variáveis aleatórias X e Z são independentes.
Aqui a matéria é Probabilidade Discreta, mais especificamente Independência de Variáveis Aleatórias. Para resolver, a gente vai precisar:
Aqui a matéria é Probabilidade Discreta, mais especificamente Independência de Variáveis Aleatórias. Para resolver, a gente vai precisar:
- Definir direitinho X e Z;
- Calcular as distribuições marginais
e ; - Calcular a distribuição conjunta
; - Verificar se sempre vale
Passo 2
Primeiro, vamos definir X e Z (como no exemplo de sala):
- X = número de meninas entre os três filhos (pode ser 0,1,2 ou 3).
- Z = indicador de “primeiro filho é menina” (ou seja,
)
O espaço amostral tem 8 resultados igualmente prováveis:
{MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF},
onde M=menino, F=menina.
{MMM, MMF, MFM, MFF, FMM, FMF, FFM, FFF},
onde M=menino, F=menina.
Passo 3
Vamos achar as marginais.
-
P(X=k): como X ~ Binomial(n=3,p=½),
-
P(Z=1): a probabilidade do primeiro filho ser menina é ½. Logo
Passo 4
Agora a conjunta
:
“X=k e primeiro é menina” significa: o primeiro é menina (prob ½) e, dos 2 filhos seguintes, aparecem exatamente meninas.
Logo
“X=k e primeiro é menina” significa: o primeiro é menina (prob ½) e, dos 2 filhos seguintes, aparecem exatamente
Logo
Para eles serem independentes, precisaríamos ter
para todo
. Mas, por exemplo, se
:
-
(não tem como ter 0 meninas no total e ainda a primeira ser menina), - enquanto
.
0 ≠ 1/16 → já basta pra mostrar que não batem.
Resposta
As variáveis X e Z não são independentes.