Seja X uma variâvel aleatória com distribuição N(0,1), calcular:
\mathrm{P}(-0,4<Z<0,5)

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com distribuição N(0,1) (ou seja, normal padrão) e pede a probabilidade
\mathrm{P}(-0,4 < Z < 0,5).
Informações dadas:
  • A variável é a normal padrão (média 0 e variância 1).
  • Queremos a probabilidade de Z estar entre -0,4 e 0,5.

Passo 2

O que é a função de distribuição cumulativa (CDF) da normal padrão?
Definimos \Phi(t) como
\Phi(t)=\mathrm{P}(Z\le t),
onde Z\sim N(0,1). Então qualquer probabilidade do tipo \mathrm{P}(a<Z<b) pode ser escrita como diferença de CDFs:
\mathrm{P}(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Aplicando isso ao nosso caso:
\mathrm{P}(-0,4<Z<0,5)=\Phi(0,5)-\Phi(-0,4).

Passo 3

Usamos a propriedade de simetria da normal padrão. Como a densidade é simétrica em torno de zero, vale
\Phi(-x)=1-\Phi(x)\quad\text{para todo }x\ge0.
Assim podemos reescrever \Phi(-0,4) em função de \Phi(0,4):
\Phi(-0,4)=1-\Phi(0,4).
Substituindo na expressão da probabilidade:
\mathrm{P}(-0,4<Z<0,5)=\Phi(0,5)-\bigl(1-\Phi(0,4)\bigr)=\Phi(0,5)+\Phi(0,4)-1.

Passo 4

Agora precisamos dos valores numéricos de \Phi(0,5) e \Phi(0,4). Vou usar os valores da tabela padrão da distribuição normal (tabela Z):
\Phi(0,5)=0,6915\quad\text{e}\quad \Phi(0,4)=0,6554.
(Estes números foram obtidos da tabela da normal padrão — é assim que se faz numa prova sem calculadora.)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula obtida no Passo 3:
\mathrm{P}(-0,4<Z<0,5)=0,6915+0,6554-1.
Agora calculamos a soma e a diferença passo a passo:
0,6915+0,6554=1,3469,
1,3469-1=0,3469.

Resposta

0,3469

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