Seja
uma variâvel aleatória com distribuição
, calcular:
Passo 1
O enunciado dá que temos uma variável aleatória padrão e pede a probabilidade abaixo de um valor negativo. Especificamente:
- Informação dada:
é uma variável com distribuição normal padrão, isto é, . - O que se pede: calcular
.
Passo 2
Entendendo o que é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão. Definimos a CDF por
onde
é a densidade da normal padrão dada por
Aqui
dá a probabilidade de
ser menor ou igual a
. Como a normal é contínua,
.
Passo 3
Propriedade de simetria da normal padrão. A densidade
é função par, isto é,
. Dessa simetria vem a relação entre valores positivos e negativos da CDF:
Fazendo a mudança de variável
nessa integral obtemos
Portanto, para qualquer
,
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso com
. Temos
Esse passo é chave: em vez de procurar diretamente o valor para
nas tabelas (que às vezes dão apenas
para
), a simetria permite usar o valor positivo
.
Passo 5
Como obter
: usa-se tabela da normal padrão ou calculadora/softwares estatísticos. Lendo uma tabela padrão ou usando uma calculadora, encontra-se
(Se for usar tabela manual, procure a linha
e a coluna
— muitas tabelas dão
arredondado.)
Passo 6
Substituindo em
:
Arredondando de forma usual para quatro casas decimais obtemos
.
Passo 7
Interpretação rápida e dica para a prova:
é aproximadamente
. Em provas, se só houver tabelas para
, lembre-se sempre da relação
ou alternativamente
.