Seja X uma variâvel aleatória com distribuição N(0,1), calcular:
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<-0,8)

Passo 1

O enunciado dá que temos uma variável aleatória padrão e pede a probabilidade abaixo de um valor negativo. Especificamente:
  • Informação dada: \mathrm{Z} é uma variável com distribuição normal padrão, isto é, \mathrm{Z}\sim N(0,1).
  • O que se pede: calcular \mathrm{P}(\mathrm{Z} < -0,8).

Passo 2

Entendendo o que é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão. Definimos a CDF por
\Phi(x)=\mathrm{P}(\mathrm{Z}\le x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,dt,
onde \varphi(t) é a densidade da normal padrão dada por
\varphi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}.
Aqui \Phi(x) dá a probabilidade de \mathrm{Z} ser menor ou igual a x. Como a normal é contínua, \mathrm{P}(\mathrm{Z}<x)=\mathrm{P}(\mathrm{Z}\le x)=\Phi(x).

Passo 3

Propriedade de simetria da normal padrão. A densidade \varphi(t) é função par, isto é, \varphi(-t)=\varphi(t). Dessa simetria vem a relação entre valores positivos e negativos da CDF:
\Phi(-a)=\int_{-\infty}^{-a}\varphi(t)\,dt.
Fazendo a mudança de variável u=-t nessa integral obtemos
\Phi(-a)=\int_{a}^{\infty}\varphi(u)\,du=1-\Phi(a).
Portanto, para qualquer a>0,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso com a=0,8. Temos
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<-0,8)=\Phi(-0,8)=1-\Phi(0,8).
Esse passo é chave: em vez de procurar diretamente o valor para -0,8 nas tabelas (que às vezes dão apenas \Phi(x) para x\ge0), a simetria permite usar o valor positivo 0,8.

Passo 5

Como obter \Phi(0,8): usa-se tabela da normal padrão ou calculadora/softwares estatísticos. Lendo uma tabela padrão ou usando uma calculadora, encontra-se
\Phi(0,8)\approx 0,78814.
(Se for usar tabela manual, procure a linha 0,8 e a coluna 0,00 — muitas tabelas dão 0,7881 arredondado.)

Passo 6

Substituindo em \Phi(-0,8)=1-\Phi(0,8):
\Phi(-0,8)=1-0,78814=0,21186.
Arredondando de forma usual para quatro casas decimais obtemos 0,2119.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para a prova: \mathrm{P}(\mathrm{Z}<-0,8) é aproximadamente 21{,}19\%. Em provas, se só houver tabelas para x\ge0, lembre-se sempre da relação \Phi(-a)=1-\Phi(a) ou alternativamente \mathrm{P}(\mathrm{Z}<-a)=\mathrm{P}(\mathrm{Z}>a).

Resposta

0,2119

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