Seja
uma variável aleatória com distribuição
, calcular:
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição normal
. Ou seja:
- A média é
. - A variância é
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Entendendo os parâmetros: numa distribuição normal
,
-
é o valor médio (centro) da distribuição; -
é a variância; o desvio padrão é .
Aqui
e
, portanto
Passo 3
Quando queremos probabilidades para uma normal não-padrão (isto é, com média e desvio padrão quaisquer), usamos a padronização para transformar para a normal padrão
. A fórmula de padronização é:
Isso significa que, para qualquer
,
Aqui
e
são os valores que já identificamos.
Passo 4
Aplicando a padronização ao caso
:
Logo
Passo 5
Agora usamos propriedades da normal padrão
. Seja
a função distribuição da normal padrão. Então
Também pela simetria da normal,
.
Em tabelas padrão ou usando valores conhecidos, temos aproximadamente
Portanto
Arredondando de forma usual (duas casas decimais percentuais ou quatro casas decimais em probabilidade),
Passo 6
Interpretação rápida: isso diz que a chance de
ser maior que
é cerca de
. Faz sentido porque
está a
desvios-padrão acima da média (
); para uma normal, valores a
acima são relativamente raros.