Seja X uma variável aleatória com distribuição N(10,100), calcular:
\mathrm{P}(X>30)

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição normal N(10,100). Ou seja:
  • A média é \mu=10.
  • A variância é \sigma^{2}=100.
O que é pedido:
  • Calcular \mathrm{P}(X>30).

Passo 2

Entendendo os parâmetros: numa distribuição normal N(\mu,\sigma^{2}),
  • \mu é o valor médio (centro) da distribuição;
  • \sigma^{2} é a variância; o desvio padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Aqui \mu=10 e \sigma^{2}=100, portanto
\sigma=\sqrt{100}=10.

Passo 3

Quando queremos probabilidades para uma normal não-padrão (isto é, com média e desvio padrão quaisquer), usamos a padronização para transformar para a normal padrão Z\sim N(0,1). A fórmula de padronização é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Isso significa que, para qualquer a,
\mathrm{P}(X>a)=\mathrm{P}\!\left(Z>\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Aqui \mu e \sigma são os valores que já identificamos.

Passo 4

Aplicando a padronização ao caso a=30:
\frac{30-\mu}{\sigma}=\frac{30-10}{10}=\frac{20}{10}=2.
Logo
\mathrm{P}(X>30)=\mathrm{P}(Z>2).

Passo 5

Agora usamos propriedades da normal padrão Z\sim N(0,1). Seja \Phi(z)=\mathrm{P}(Z\le z) a função distribuição da normal padrão. Então
\mathrm{P}(Z>2)=1-\Phi(2).
Também pela simetria da normal, \mathrm{P}(Z>2)=\mathrm{P}(Z<-2)=\Phi(-2).
Em tabelas padrão ou usando valores conhecidos, temos aproximadamente
\Phi(2)\approx 0,97725.
Portanto
\mathrm{P}(Z>2)=1-0,97725\approx 0,02275.
Arredondando de forma usual (duas casas decimais percentuais ou quatro casas decimais em probabilidade),
\mathrm{P}(X>30)\approx 0,0228.

Passo 6

Interpretação rápida: isso diz que a chance de X ser maior que 30 é cerca de 2,28\%. Faz sentido porque 30 está a 2 desvios-padrão acima da média ( 10+2\cdot10=30); para uma normal, valores a 2\sigma acima são relativamente raros.

Resposta

\mathrm{P}(X>30)\approx 0,0228

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