Seja 
 . Calcule 
  sobre uma região retangular dada por 
 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos o campo vetorial 
  e precisamos calcular a integral de 
  sobre um volume retangular definido por 
 , 
  e 
 . Basicamente, vamos somar todas as contribuições do campo vetorial dentro dessa caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando queremos integrar um campo vetorial sobre um volume, na verdade estamos integrando cada componente do vetor separadamente. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Vamos começar com a componente 
 :
Integrando em relação a 
 :
Então:
Integrando em relação a 
 :
Agora:
Então, a componente 
  é 
 .
Passo 4
Agora, vamos para a componente 
 :
Integrando em relação a 
 :
Então:
Integrando em relação a 
 :
Agora:
Então, a componente 
  é 
 .
Passo 5
Finalmente, vamos para a componente 
 :
Integrando em relação a 
 :
Então:
Integrando em relação a 
 :
Agora:
Então, a componente 
  é 
 .
Resposta
A integral de 
  sobre o volume é: