Calcule as áreas das seguintes superfícies, utilizando a área das superfície diferencial 
  :
(d) 
  constante
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de uma superfície definida em coordenadas esféricas. O enunciado fala sobre uma região onde o raio 
  varia de 0 a 4, o ângulo polar 
  varia de 60° a 90°, e o ângulo azimutal 
  é constante. Para isso, vamos usar a fórmula da área diferencial em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da área diferencial em coordenadas esféricas, que é dada por:
Como 
  é constante no nosso caso, 
 , mas na verdade, estamos considerando uma superfície onde 
  é fixo, então precisamos pensar na área lateral dessa superfície.
Passo 3
Nesse contexto, com 
  constante, estamos lidando com uma superfície que se estende em 
  e 
 . Portanto, a área diferencial simplifica para:
Isso porque a variação em 
  não contribui para a área quando 
  é constante.
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar a área total da superfície. Os limites de integração são:
- 
vai de 0 a 4  - 
vai de 60° a 90° (que em radianos é a )  
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a 
 :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:
Resposta
A área da superfície é igual a 4 unidades de área.