Seja
, onde
e
são duas funções deriváveis num mesmo conjunto
, com
para todo
.
(a) Calcule
para mostrar que
(b) Use o item (a) para mostrar que
(a) Calcule
Passo 1
O enunciado dá que
, onde
e
são deriváveis em um mesmo conjunto
e
para todo
. Pede-se:
(a) calcular para mostrar que
(a) calcular
(b) usar (a) para mostrar que
Informações relevantes:
garante que
está bem definida;
e
são deriváveis, então podemos aplicar regras de derivação (regra da cadeia, regra do produto, etc.). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Justificativa para tomar logaritmo e cálculo de
. Como
temos
, então faz sentido aplicar o logaritmo natural. Use a propriedade do logaritmo que transforma potência em produto:
Aqui usei a identidade
, válida para
. Isso resolve o cálculo de
.
Passo 3
Volto de
para
exponenciando ambos os lados (exponencial é função inversa do logaritmo):
Portanto obtém-se exatamente a forma pedida em (a):
Explicação curta: escrever
como uma exponencial facilita diferenciar porque sabemos derivar
com a regra da cadeia.
Passo 4
Preparação para derivar: defina a função interna
Aplicando a regra da cadeia à expressão
: a derivada de
é
. Logo
Substituindo
pela forma original
(usando (a)), obtemos
Agora faltam os detalhes para calcular
.
Passo 5
Calcule
usando a regra do produto para
. A regra do produto diz que
. Aplicando:
Agora calculamos
. Pela regra da cadeia, a derivada de
em
é
. Portanto
Substituindo na expressão de
obtemos
Passo 6
Volto à expressão de
com
já calculado. Substituindo:
Podemos também escrever isso de forma compacta como
porque o lado dentro do colchete é exatamente
que calculámos. Isso conclui a demonstração pedida em (b). Observação pedagógica: a técnica usada — tomar logaritmo e usar regra da cadeia/produto — chama-se diferenciação logarítmica e é muito prática quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.