Seja y=f(x)^{g(x)}, onde f e g são duas funções deriváveis num mesmo conjunto A, com f(x)>0 para todo x \in A.
(a) Calcule \ln y para mostrar que
f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \ln f(x)}
(b) Use o item (a) para mostrar que
\left[f(x)^{g(x)}\right]^{\prime}=f(x)^{g(x)} \cdot[g(x) \cdot \ln f(x)]^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá que y=f(x)^{g(x)}, onde f e g são deriváveis em um mesmo conjunto A e f(x)>0 para todo x\in A. Pede-se:
(a) calcular \ln y para mostrar que
f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}
(b) usar (a) para mostrar que
\left[f(x)^{g(x)}\right]'=f(x)^{g(x)}\cdot [\,g(x)\cdot\ln f(x)\,]'.
Informações relevantes: f(x)>0 garante que \ln f(x) está bem definida; f e g são deriváveis, então podemos aplicar regras de derivação (regra da cadeia, regra do produto, etc.). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Justificativa para tomar logaritmo e cálculo de \ln y. Como f(x)>0 temos y=f(x)^{g(x)}>0, então faz sentido aplicar o logaritmo natural. Use a propriedade do logaritmo que transforma potência em produto:
\ln y=\ln\bigl(f(x)^{g(x)}\bigr)=g(x)\,\ln f(x).
Aqui usei a identidade \ln(a^b)=b\ln a, válida para a>0. Isso resolve o cálculo de \ln y.

Passo 3

Volto de \ln y para y exponenciando ambos os lados (exponencial é função inversa do logaritmo):
y=e^{\ln y}=e^{g(x)\ln f(x)}.
Portanto obtém-se exatamente a forma pedida em (a):
f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}.
Explicação curta: escrever f^{g} como uma exponencial facilita diferenciar porque sabemos derivar e^{u(x)} com a regra da cadeia.

Passo 4

Preparação para derivar: defina a função interna
u(x)=g(x)\ln f(x).
Aplicando a regra da cadeia à expressão y=e^{u(x)}: a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x). Logo
y'=\bigl(e^{u(x)}\bigr)'=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo e^{u(x)} pela forma original f(x)^{g(x)} (usando (a)), obtemos
\bigl[f(x)^{g(x)}\bigr]'=f(x)^{g(x)}\cdot u'(x).
Agora faltam os detalhes para calcular u'(x).

Passo 5

Calcule u'(x) usando a regra do produto para u(x)=g(x)\cdot\ln f(x). A regra do produto diz que (uv)'=u'v+uv'. Aplicando:
u'(x)=g'(x)\,\ln f(x)+g(x)\,\bigl(\ln f(x)\bigr)'.
Agora calculamos \bigl(\ln f(x)\bigr)'. Pela regra da cadeia, a derivada de \ln(t) em t=f(x) é \dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x). Portanto
\bigl(\ln f(x)\bigr)'=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Substituindo na expressão de u'(x) obtemos
u'(x)=g'(x)\,\ln f(x)+g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}.

Passo 6

Volto à expressão de y' com u'(x) já calculado. Substituindo:
\bigl[f(x)^{g(x)}\bigr]'=f(x)^{g(x)}\cdot\Biggl(g'(x)\,\ln f(x)+g(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}\Biggr).
Podemos também escrever isso de forma compacta como
\bigl[f(x)^{g(x)}\bigr]'=f(x)^{g(x)}\cdot\bigl[\,g(x)\ln f(x)\,\bigr]',
porque o lado dentro do colchete é exatamente u'(x) que calculámos. Isso conclui a demonstração pedida em (b). Observação pedagógica: a técnica usada — tomar logaritmo e usar regra da cadeia/produto — chama-se diferenciação logarítmica e é muito prática quando a variável aparece tanto na base quanto no expoente.

Resposta

f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}
\bigl[f(x)^{g(x)}\bigr]'=f(x)^{g(x)}\cdot\bigl[\,g(x)\ln f(x)\,\bigr]'=f(x)^{g(x)}\!\left(g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right)

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