Seja y=e^{-x}. Verifique que
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \cdot \frac{d y}{d x}+y=0

Passo 1

O enunciado dá a função y=e^{-x} e pede para verificar que
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2\cdot\frac{d y}{d x}+y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y=e^{-x}.
  • Precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de y.
  • Depois devemos substituir essas derivadas na expressão \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+2\cdot\dfrac{d y}{d x}+y e mostrar que o resultado é 0.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada \displaystyle \frac{d y}{d x}. Para isso usamos a regra da cadeia para exponenciais: se u(x) é uma função, então a derivada de e^{u(x)} é
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui podemos tomar u(x)=-x. Então u'(x)=-1. Aplicando a fórmula:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{dx}e^{-x}=(-1)\,e^{-x}=-e^{-x}.
Explicando em palavras: a exponencial mantém a forma e^{\text{algo}} e multiplicamos por a derivada do “algo” (que é -1 no caso).

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada \displaystyle \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, ou seja, a derivada da primeira derivada. Temos \displaystyle \frac{d y}{d x}=-e^{-x}. Derivando novamente, usando a mesma regra da cadeia:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-x}\bigr)=-\frac{d}{dx}e^{-x}.
E já sabemos que \displaystyle \frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}. Substituindo:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{-x}.
Portanto a segunda derivada é e^{-x}.

Passo 4

Substituímos as derivadas e y na expressão que queremos verificar:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2\cdot\frac{d y}{d x}+y = e^{-x}+2\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr)+e^{-x}.
Agora simplificamos somando os coeficientes de e^{-x}:
e^{-x}-2e^{-x}+e^{-x}=(1-2+1)\,e^{-x}=0\cdot e^{-x}=0.

Passo 5

Concluímos que, para toda x,
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2\cdot\frac{d y}{d x}+y=0,
ou seja, a identidade está verificada.

Resposta

0

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