Seja
. Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar que
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Precisamos calcular a primeira e a segunda derivada de
. - Depois devemos substituir essas derivadas na expressão
e mostrar que o resultado é .
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Para isso usamos a regra da cadeia para exponenciais: se
é uma função, então a derivada de
é
Aqui podemos tomar
. Então
. Aplicando a fórmula:
Explicando em palavras: a exponencial mantém a forma
e multiplicamos por a derivada do “algo” (que é
no caso).
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
, ou seja, a derivada da primeira derivada. Temos
. Derivando novamente, usando a mesma regra da cadeia:
E já sabemos que
. Substituindo:
Portanto a segunda derivada é
.
Passo 4
Substituímos as derivadas e
na expressão que queremos verificar:
Agora simplificamos somando os coeficientes de
:
Passo 5
Concluímos que, para toda
,
ou seja, a identidade está verificada.