Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
y=3^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função y=3^{x}.
Informações dadas e claras:
  • A função é y=3^{x}.
  • A variável independente é x.
  • O objetivo é encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).

Passo 2

Uma ideia muito útil: qualquer exponencial de base positiva pode ser escrita com a base e usando logaritmo natural. Isto vem da identidade
a^{x} = \bigl(e^{\ln a}\bigr)^{x} = e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aqui \ln a é uma constante (não depende de x). Essa reescrita é prática porque a derivada de e^{(\cdot)} é simples. Vou aplicar isso para a=3.

Passo 3

Reescrevendo a função dada com base e,
y=3^{x}=e^{x\ln 3}.
Agora temos y como uma composição y=e^{u(x)} com u(x)=x\ln 3.

Passo 4

Vou lembrar e explicar a regra que vamos usar: a regra da cadeia. Se temos uma função composta y=f(u(x)), então a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'(u(x))\cdot u'(x).
No caso f(u)=e^{u}, sabemos que f'(u)=e^{u}. Portanto, para y=e^{u(x)},
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isso é a regra da cadeia aplicada ao caso exponencial.

Passo 5

Identificamos u(x)=x\ln 3. Como \ln 3 é constante, a derivada de u é
u'(x)=\ln 3.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
\frac{dy}{dx}=e^{x\ln 3}\cdot \ln 3.

Passo 6

Voltando da forma com e para a forma original em base 3, usamos e^{x\ln 3}=3^{x}. Portanto
\frac{dy}{dx}=3^{x}\ln 3.

Passo 7

Comentário adicional para fixar a ideia (útil para prova): a derivada geral de \,a^{x}\, para a>0 é
\frac{d}{dx}\bigl(a^{x}\bigr)=a^{x}\ln a,
e a demonstração prática é exatamente reescrever a^{x}=e^{x\ln a} e aplicar a regra da cadeia, como fizemos aqui. Um outro argumento via definição de derivada usa o limite \lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}=\ln a, mas para a prova normalmente basta usar a reescrita com e.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=3^{x}\ln 3

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