Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas e claras:
Informações dadas e claras:
- A função é
. - A variável independente é
. - O objetivo é encontrar
(a derivada de em relação a ).
Passo 2
Uma ideia muito útil: qualquer exponencial de base positiva pode ser escrita com a base
usando logaritmo natural. Isto vem da identidade
onde
é o logaritmo natural de
. Aqui
é uma constante (não depende de
). Essa reescrita é prática porque a derivada de
é simples. Vou aplicar isso para
.
Passo 3
Reescrevendo a função dada com base
,
Agora temos
como uma composição
com
.
Passo 4
Vou lembrar e explicar a regra que vamos usar: a regra da cadeia. Se temos uma função composta
, então a derivada é
No caso
, sabemos que
. Portanto, para
,
Isso é a regra da cadeia aplicada ao caso exponencial.
Passo 5
Identificamos
. Como
é constante, a derivada de
é
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Passo 6
Voltando da forma com
para a forma original em base
, usamos
. Portanto
Passo 7
Comentário adicional para fixar a ideia (útil para prova): a derivada geral de
para
é
e a demonstração prática é exatamente reescrever
e aplicar a regra da cadeia, como fizemos aqui. Um outro argumento via definição de derivada usa o limite
, mas para a prova normalmente basta usar a reescrita com
.