Os dados a seguir representam o peso (em kg) de 40 estudantes:
,
,
105, 108, 110, 112
a) Construa uma distribuição de frequências com 5 classes de igual amplitude para esses dados.
b) A partir da distribuição de frequências, construa um Histograma.
c) Construa um Boxplot para os dados originais.
a) Construa uma distribuição de frequências com 5 classes de igual amplitude para esses dados.
b) A partir da distribuição de frequências, construa um Histograma.
c) Construa um Boxplot para os dados originais.
Passo 1
O enunciado fornece os pesos (em kg) de
estudantes, já ordenados:
O que o enunciado pede:
(a) Construir uma distribuição de frequências com classes de igual amplitude para esses dados.
(b) A partir dessa distribuição, construir um histograma.
(c) Construir um boxplot (diagrama de caixa) para os dados originais.
(a) Construir uma distribuição de frequências com
(b) A partir dessa distribuição, construir um histograma.
(c) Construir um boxplot (diagrama de caixa) para os dados originais.
Passo 2
Vamos organizar os dados para montar as classes. Primeiro informações básicas que usaremos:
- Número de observações:
. - Menor valor (mínimo):
. - Maior valor (máximo):
. - Alcance (range):
.
Explicação didática: o alcance indica o intervalo total coberto pelos dados. Para dividir em
classes de igual amplitude, uma escolha natural para a amplitude bruta é
. Aqui
.
Passo 3
Calcular a amplitude de classe ideal (antes de arredondar):
Explicação didática: não é conveniente ter amplitude com várias casas decimais; geralmente arredonda-se para cima para garantir que todas as observações caibam nas classes sem sobra. Então escolhemos a amplitude inteira seguinte:
.
Justificativa simples: com amplitude
os limites ficarão arredondados e todas as observações cabem facilmente.
Passo 4
Escolher limites das classes. Começamos pelo menor valor
e formamos
classes consecutivas de amplitude
. Vou definir as classes por intervalos inteiros inclusivos nas extremidades (cada classe inclui ambos os extremos):
Classe 1: a
Classe 2: a
Classe 3: a
Classe 4: a
Classe 5: a
Classe 1:
Classe 2:
Classe 3:
Classe 4:
Classe 5:
Observação didática: é importante que as classes sejam adjacentes e não se sobreponham. Outra convenção comum é usar limites com
(ex.:
), mas para a prova é aceitável usar intervalos inteiros como acima, desde que fique claro como os limites são tratados.
Passo 5
Agora contamos quantos dados caem em cada classe. Vou percorrer a lista e alocar cada observação:
- Classe
: contém → frequência . - Classe
: contém → frequência . - Classe
: contém → frequência . - Classe
: contém → frequência . - Classe
: contém → frequência .
Verificação:
, que é
. Está consistente.
Passo 6
Calcular frequências relativas e acumuladas (útil para o histograma relativo e para interpretação):
- Frequências relativas
:
- Frequências acumuladas
:
Passo 7
Apresentando a tabela final da distribuição de frequências (essencial para a parte (a)):
Classe
| Frequência
| Frequência relativa
| Freq. acumulada
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Esta tabela responde a (a).
Passo 8
Construir o histograma (parte (b)) — orientação passo a passo para desenhar corretamente:
- No eixo horizontal (eixo
) coloque o peso em kg; marque os limites de classe: (ou marque cada classe como um segmento: ). - No eixo vertical (eixo
) coloque a frequência absoluta (ou relativa). Se usar frequência absoluta, os valores do eixo irão de até no mínimo (maior frequência). - Para cada classe desenhe uma barra cuja base cubra exatamente o intervalo de classe e cuja altura seja a frequência
. Assim as alturas serão, em ordem das classes: . As barras devem ficar contíguas (sem espaços), porque as classes são contínuas em . - Opcional: se preferir histograma com densidade ou frequências relativas, use as alturas
em vez de ; porém para provas é comum usar .
Dica prática: os pontos médios das classes são úteis se quiser plotar um polígono de frequência (linha unindo os pontos médios): os pontos médios
são
Passo 9
Construir o boxplot (parte (c)) — cálculo dos quartis e elementos necessários:
- Os dados já estão ordenados e
(par). A mediana é a média dos elementos de posição e . - Para
(mediana da metade inferior): como é par, a metade inferior é formada pelas posições a . é a média das posições e : - Para
(mediana da metade superior): metade superior são posições a . é a média das posições e : - Intervalo interquartílico:
- Regras de outlier (método de Tukey): limites para detectar outliers:
Todos os dados estão entre
e
, portanto não há valores fora de
. Logo não há outliers conforme essa regra.
6. Valores extremos reais: e
. No boxplot as “moustaches” (bigodes) vão até esses valores (não há outliers interrompendo os bigodes).
6. Valores extremos reais:
Passo 10
Como desenhar o boxplot (passo a passo prático):
- No eixo
coloque a escala de pesos (kg). - Desenhe uma caixa (box) que vai de
até . - Dentro da caixa desenhe uma linha vertical em
(a mediana). - Desenhe um “bigode” à esquerda que vai de
até o menor valor observado . - Desenhe um “bigode” à direita que vai de
até o maior valor observado . - Não marque outliers (não há) e escreva a cinco-resumo:
.
Resposta
(a) Distribuição de frequências com
classes (amplitude
):
(b) Histograma: usar as classes acima como intervalos no eixo
e alturas iguais às frequências absolutas
(largura de cada barra
); os pontos médios são
caso queira o polígono de frequência.
(c) Boxplot (cinco-número):
. IQR
. Limites Tukey: inferior
, superior
. Não há outliers.