Os dados a seguir representam o peso (em kg) de 40 estudantes: 55,60,62,65,68,70,70,72,73,75,75,76,78,79,80,80,81,82, 83,85,85,86,88,89,90,90,91,92,93,95,95,96,98,99,100,102,
105, 108, 110, 112
a) Construa uma distribuição de frequências com 5 classes de igual amplitude para esses dados.
b) A partir da distribuição de frequências, construa um Histograma.
c) Construa um Boxplot para os dados originais.

Passo 1

O enunciado fornece os pesos (em kg) de 40 estudantes, já ordenados:
55,60,62,65,68,70,70,72,73,75,75,76,78,79,80,80,81,82,83,85,
85,86,88,89,90,90,91,92,93,95,95,96,98,99,100,102,105,108,110,112
O que o enunciado pede:
(a) Construir uma distribuição de frequências com 5 classes de igual amplitude para esses dados.
(b) A partir dessa distribuição, construir um histograma.
(c) Construir um boxplot (diagrama de caixa) para os dados originais.

Passo 2

Vamos organizar os dados para montar as classes. Primeiro informações básicas que usaremos:
  • Número de observações: n=40.
  • Menor valor (mínimo): \min = 55.
  • Maior valor (máximo): \max = 112.
  • Alcance (range): \text{Range}=\max-\min=112-55=57.
Explicação didática: o alcance indica o intervalo total coberto pelos dados. Para dividir em k classes de igual amplitude, uma escolha natural para a amplitude bruta é \dfrac{\text{Range}}{k}. Aqui k=5.

Passo 3

Calcular a amplitude de classe ideal (antes de arredondar):
\text{amplitude\_bruta}=\frac{\text{Range}}{5}=\frac{57}{5}=11,4.
Explicação didática: não é conveniente ter amplitude com várias casas decimais; geralmente arredonda-se para cima para garantir que todas as observações caibam nas classes sem sobra. Então escolhemos a amplitude inteira seguinte: \text{amplitude}=12.
Justificativa simples: com amplitude 12 os limites ficarão arredondados e todas as observações cabem facilmente.

Passo 4

Escolher limites das classes. Começamos pelo menor valor \min=55 e formamos 5 classes consecutivas de amplitude 12. Vou definir as classes por intervalos inteiros inclusivos nas extremidades (cada classe inclui ambos os extremos):
Classe 1: 55 a 66
Classe 2: 67 a 78
Classe 3: 79 a 90
Classe 4: 91 a 102
Classe 5: 103 a 114
Observação didática: é importante que as classes sejam adjacentes e não se sobreponham. Outra convenção comum é usar limites com .5 (ex.: [54{,}5,66{,}5)), mas para a prova é aceitável usar intervalos inteiros como acima, desde que fique claro como os limites são tratados.

Passo 5

Agora contamos quantos dados caem em cada classe. Vou percorrer a lista e alocar cada observação:
  • Classe 55\text{-}66: contém 55,60,62,65 → frequência f_1=4.
  • Classe 67\text{-}78: contém 68,70,70,72,73,75,75,76,78 → frequência f_2=9.
  • Classe 79\text{-}90: contém 79,80,80,81,82,83,85,85,86,88,89,90,90 → frequência f_3=13.
  • Classe 91\text{-}102: contém 91,92,93,95,95,96,98,99,100,102 → frequência f_4=10.
  • Classe 103\text{-}114: contém 105,108,110,112 → frequência f_5=4.
Verificação: 4+9+13+10+4=40, que é n. Está consistente.

Passo 6

Calcular frequências relativas e acumuladas (útil para o histograma relativo e para interpretação):
  • Frequências relativas h_i = \dfrac{f_i}{n}: h_1=\frac{4}{40}=0{,}10\quad(10\%),\qquad h_2=\frac{9}{40}=0{,}225\quad(22{,}5\%),
h_3=\frac{13}{40}=0{,}325\quad(32{,}5\%),\qquad h_4=\frac{10}{40}=0{,}25\quad(25\%),
h_5=\frac{4}{40}=0{,}10\quad(10\%).
  • Frequências acumuladas F_i: F_1=4,\quad F_2=4+9=13,\quad F_3=13+13=26,\quad F_4=26+10=36,\quad F_5=40.

Passo 7

Apresentando a tabela final da distribuição de frequências (essencial para a parte (a)):
Classe \quad | Frequência f_i \quad | Frequência relativa h_i \quad | Freq. acumulada F_i
55\text{-}66 \quad | 4 \quad | 0{,}10 \quad | 4
67\text{-}78 \quad | 9 \quad | 0{,}225 \quad | 13
79\text{-}90 \quad | 13 \quad | 0{,}325 \quad | 26
91\text{-}102 \quad | 10 \quad | 0{,}25 \quad | 36
103\text{-}114 \quad | 4 \quad | 0{,}10 \quad | 40
Esta tabela responde a (a).

Passo 8

Construir o histograma (parte (b)) — orientação passo a passo para desenhar corretamente:
  1. No eixo horizontal (eixo x) coloque o peso em kg; marque os limites de classe: 55,66,78,90,102,114 (ou marque cada classe como um segmento: 55\text{-}66,\;67\text{-}78,\;\dots).
  2. No eixo vertical (eixo y) coloque a frequência absoluta (ou relativa). Se usar frequência absoluta, os valores do eixo y irão de 0 até no mínimo 13 (maior frequência).
  3. Para cada classe desenhe uma barra cuja base cubra exatamente o intervalo de classe e cuja altura seja a frequência f_i. Assim as alturas serão, em ordem das classes: 4,\;9,\;13,\;10,\;4. As barras devem ficar contíguas (sem espaços), porque as classes são contínuas em x.
  4. Opcional: se preferir histograma com densidade ou frequências relativas, use as alturas h_i em vez de f_i; porém para provas é comum usar f_i.
Dica prática: os pontos médios das classes são úteis se quiser plotar um polígono de frequência (linha unindo os pontos médios): os pontos médios m_i são
m_1=\frac{55+66}{2}=60{,}5,\quad m_2=72{,}5,\quad m_3=84{,}5,\quad m_4=96{,}5,\quad m_5=108{,}5.

Passo 9

Construir o boxplot (parte (c)) — cálculo dos quartis e elementos necessários:
  1. Os dados já estão ordenados e n=40 (par). A mediana Q_2 é a média dos elementos de posição 20 e 21. \text{posição }20=85,\qquad \text{posição }21=85 \Rightarrow Q_2=\frac{85+85}{2}=85.çãçã
  2. Para Q_1 (mediana da metade inferior): como n é par, a metade inferior é formada pelas posições 1 a 20. Q_1 é a média das posições 10 e 11: \text{pos }10=75,\quad \text{pos }11=75 \Rightarrow Q_1=\frac{75+75}{2}=75.
  3. Para Q_3 (mediana da metade superior): metade superior são posições 21 a 40. Q_3 é a média das posições 30 e 31: \text{pos }30=95,\quad \text{pos }31=95 \Rightarrow Q_3=\frac{95+95}{2}=95.
  4. Intervalo interquartílico: \text{IQR}=Q_3-Q_1=95-75=20.
  5. Regras de outlier (método de Tukey): limites para detectar outliers: \text{limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\text{IQR}=75-1{,}5\cdot20=75-30=45,
\text{limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\text{IQR}=95+30=125.
Todos os dados estão entre 55 e 112, portanto não há valores fora de [45,125]. Logo não há outliers conforme essa regra.
6. Valores extremos reais: \min=55 e \max=112. No boxplot as “moustaches” (bigodes) vão até esses valores (não há outliers interrompendo os bigodes).

Passo 10

Como desenhar o boxplot (passo a passo prático):
  • No eixo x coloque a escala de pesos (kg).
  • Desenhe uma caixa (box) que vai de Q_1=75 até Q_3=95.
  • Dentro da caixa desenhe uma linha vertical em Q_2=85 (a mediana).
  • Desenhe um “bigode” à esquerda que vai de Q_1 até o menor valor observado 55.
  • Desenhe um “bigode” à direita que vai de Q_3 até o maior valor observado 112.
  • Não marque outliers (não há) e escreva a cinco-resumo: \min=55,\;Q_1=75,\;Q_2=85,\;Q_3=95,\;\max=112.

Resposta

(a) Distribuição de frequências com 5 classes (amplitude 12):
55\text{-}66:\\ f=4,\\ h=0{,}10,\\ F=4
67\text{-}78:\\ f=9,\\ h=0{,}225,\\ F=13
79\text{-}90:\\ f=13,\\ h=0{,}325,\\ F=26
91\text{-}102:\\ f=10,\\ h=0{,}25,\\ F=36
103\text{-}114:\\ f=4,\\ h=0{,}10,\\ F=40
(b) Histograma: usar as classes acima como intervalos no eixo x e alturas iguais às frequências absolutas 4,\;9,\;13,\;10,\;4 (largura de cada barra =12); os pontos médios são 60{,}5,\;72{,}5,\;84{,}5,\;96{,}5,\;108{,}5 caso queira o polígono de frequência.
(c) Boxplot (cinco-número): \min=55,\;Q_1=75,\;Q_2=85,\;Q_3=95,\;\max=112. IQR =20. Limites Tukey: inferior =45, superior =125. Não há outliers.

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