Seja
, esboce as partes real e imaginária de
para
Passo 1
O enunciado dá a função complexa
e pede que eu esboce as partes real e imaginária quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O parâmetro
é negativo: . -
é a frequência angular (assumir para haver oscilação).
O que é pedido: - Esboçar (desenhar mentalmente ou à mão) as curvas de
e para real quando .
Passo 2
Separar a parte exponencial real da parte oscilatória complexa usando propriedades de exponenciais complexas. Primeiro escrevo
Agora aplico a Fórmula de Euler:
. Assim
Multiplicando pelo fator real
obtemos as partes real e imaginária:
Passo 3
Interpretação física/geométrica das fórmulas acima (aulas rápidas sobre cada termo):
-
é um fator real que escala a amplitude das oscilações. Como , é uma exponencial decrescente quando . -
e são oscilações periódicas com frequência angular . O período é
- Portanto cada parte (real e imaginária) é uma senoide multiplicada por uma envoltória (envelope)
.
Passo 4
Comportamento assintótico e sinais importantes (útil para o esboço):
- Como
, tem-se
logo as oscilações em amplitude decrescem para zero quando
(sinal amortecido).
- Para
tem-se (as amplitudes crescem sem limite para tempos muito negativos). Obs.: em muitos problemas físicos considera-se , caso em que apenas a decadência para frente no tempo importa. - Zeros (onde a curva cruza o eixo horizontal): para a parte real ocorre quando
, ou seja
Para a parte imaginária ocorre quando
, ou seja
Passo 5
Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova, sem calculadora):
- Desenhe o eixo
horizontal. - Trace as curvas de envelope
e . Como , essas curvas decaem para zero à medida que vai para a direita. - Marque divisões no eixo
correspondentes a intervalos (ou pelo menos marque e seus múltiplos). - Para
: entre as duas curvas de envelope desenhe uma senoide que em vale (ou seja começa em ). A amplitude de cada oscilação é dada por naquele instante, então as cristas tocam e os vales . - Para
: desenhe uma senoide deslocada de em relação à cossenoide. Em a imaginária vale . As cristas e vales seguem também a mesma envoltória . - Lembre-se: a frequência das oscilações é a mesma para ambas, apenas a fase difere (cosseno inicia em 1, seno em 0).
Passo 6
Exemplo numérico concreto (ajuda visual): escolha
e
(então
).
- Em
: , . - Em
(que corresponde a ): , . - Em
( ): , .
Esses pontos mostram claramente a oscilação e a redução das amplitudes com o tempo.
Passo 7
Observações finais para prova e entendimento:
- A figura típica que se espera: duas curvas oscilantes (uma cossenoidal e uma senoideal) encaixadas entre as envoltórias
, decaindo para zero à direita quando . - Se no enunciado for considerado apenas
, concentre-se no comportamento amortecido para frente no tempo; se for todo o eixo real, note que as amplitudes crescem para . - Em problemas práticos (sinais amortecidos, circuitos RLC, etc.) a representação
e é a forma canônica de uma oscilação amortecida.