Seja y(t)=e^{(\sigma+j \omega) t}, esboce as partes real e imaginária de y(t) para
\sigma<0

Passo 1

O enunciado dá a função complexa y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t} e pede que eu esboce as partes real e imaginária quando \sigma<0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t}.
  • O parâmetro \sigma é negativo: \sigma<0.
  • \omega é a frequência angular (assumir \omega\neq0 para haver oscilação).
    O que é pedido:
  • Esboçar (desenhar mentalmente ou à mão) as curvas de \Re\{y(t)\} e \Im\{y(t)\} para t real quando \sigma<0.

Passo 2

Separar a parte exponencial real da parte oscilatória complexa usando propriedades de exponenciais complexas. Primeiro escrevo
y(t)=e^{(\sigma+j\omega)t}=e^{\sigma t}\,e^{j\omega t}.
Agora aplico a Fórmula de Euler: e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta. Assim
e^{j\omega t}=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t).
Multiplicando pelo fator real e^{\sigma t} obtemos as partes real e imaginária:
\Re\{y(t)\}=e^{\sigma t}\cos(\omega t), \qquad \Im\{y(t)\}=e^{\sigma t}\sin(\omega t).

Passo 3

Interpretação física/geométrica das fórmulas acima (aulas rápidas sobre cada termo):
  • e^{\sigma t} é um fator real que escala a amplitude das oscilações. Como \sigma<0, e^{\sigma t} é uma exponencial decrescente quando t\to+\infty.
  • \cos(\omega t) e \sin(\omega t) são oscilações periódicas com frequência angular \omega. O período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Portanto cada parte (real e imaginária) é uma senoide multiplicada por uma envoltória (envelope) e^{\sigma t}.

Passo 4

Comportamento assintótico e sinais importantes (útil para o esboço):
  • Como \sigma<0, tem-se
\lim_{t\to+\infty} e^{\sigma t}=0,
logo as oscilações em amplitude decrescem para zero quando t\to+\infty (sinal amortecido).
  • Para t\to -\infty tem-se e^{\sigma t}\to +\infty (as amplitudes crescem sem limite para tempos muito negativos). Obs.: em muitos problemas físicos considera-se t\ge0, caso em que apenas a decadência para frente no tempo importa.
  • Zeros (onde a curva cruza o eixo horizontal): para a parte real ocorre quando \cos(\omega t)=0, ou seja
t=\frac{\pi}{2\omega}+\frac{k\pi}{\omega},\quad k\in\mathbb{Z}.
Para a parte imaginária ocorre quando \sin(\omega t)=0, ou seja
t=\frac{k\pi}{\omega},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Como esboçar passo a passo (receita prática para a prova, sem calculadora):
  1. Desenhe o eixo t horizontal.
  2. Trace as curvas de envelope +e^{\sigma t} e -e^{\sigma t}. Como \sigma<0, essas curvas decaem para zero à medida que vai para a direita.
  3. Marque divisões no eixo t correspondentes a intervalos \Delta t=T/4=\pi/(2\omega) (ou pelo menos marque T=\tfrac{2\pi}{\omega} e seus múltiplos).
  4. Para \Re\{y(t)\}=e^{\sigma t}\cos(\omega t): entre as duas curvas de envelope desenhe uma senoide que em t=0 vale e^{\sigma\cdot 0}\cos0=1 (ou seja começa em +1). A amplitude de cada oscilação é dada por e^{\sigma t} naquele instante, então as cristas tocam +e^{\sigma t} e os vales -e^{\sigma t}.
  5. Para \Im\{y(t)\}=e^{\sigma t}\sin(\omega t): desenhe uma senoide deslocada de \tfrac{\pi}{2} em relação à cossenoide. Em t=0 a imaginária vale 0. As cristas e vales seguem também a mesma envoltória e^{\sigma t}.
  6. Lembre-se: a frequência das oscilações é a mesma para ambas, apenas a fase difere (cosseno inicia em 1, seno em 0).

Passo 6

Exemplo numérico concreto (ajuda visual): escolha \sigma=-1 e \omega=2\pi (então T=1).
  • Em t=0: \Re\{y(0)\}=1, \Im\{y(0)\}=0.
  • Em t=\tfrac{1}{4} (que corresponde a \omega t=\tfrac{\pi}{2}): \Re\{y\}(\tfrac{1}{4})=e^{-1/4}\cos(\tfrac{\pi}{2})=0, \Im\{y\}(\tfrac{1}{4})=e^{-1/4}\sin(\tfrac{\pi}{2})=e^{-1/4}\approx0{,}78.
  • Em t=\tfrac{1}{2} ( \omega t=\pi): \Re\{y\}(\tfrac{1}{2})=e^{-1/2}\cos\pi=-e^{-1/2}\approx-0{,}61, \Im\{y\}(\tfrac{1}{2})=0.
    Esses pontos mostram claramente a oscilação e a redução das amplitudes com o tempo.

Passo 7

Observações finais para prova e entendimento:
  • A figura típica que se espera: duas curvas oscilantes (uma cossenoidal e uma senoideal) encaixadas entre as envoltórias \pm e^{\sigma t}, decaindo para zero à direita quando \sigma<0.
  • Se no enunciado for considerado apenas t\ge0, concentre-se no comportamento amortecido para frente no tempo; se for todo o eixo real, note que as amplitudes crescem para -\infty.
  • Em problemas práticos (sinais amortecidos, circuitos RLC, etc.) a representação e^{\sigma t}\cos(\omega t) e e^{\sigma t}\sin(\omega t) é a forma canônica de uma oscilação amortecida.

Resposta

\Re\{y(t)\}=e^{\sigma t}\cos(\omega t)
\Im\{y(t)\}=e^{\sigma t}\sin(\omega t)

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