Seja x(t)=2 \cos (200 t+\pi / 6), determine o valor e pico e a frequência fundamental do sinal y(t)=x^{2}(t).

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=2\cos\!\left(200t+\frac{\pi}{6}\right)
e pede duas coisas sobre y(t)=x^{2}(t):
  • o valor de pico de y(t) (ou seja, o máximo que y(t) atinge);
  • a frequência fundamental de y(t).
Informações importantes fornecidas:
  • amplitude de x(t): 2;
  • pulsação (frequência angular) de x(t): \omega_x = 200\\ \text{rad/s} (veja que isto vem do termo 200t);
  • fase de x(t): \dfrac{\pi}{6}.

Passo 2

Vamos obter uma expressão explícita para y(t)=x^{2}(t). Primeiro escrevemos
y(t)=\bigl(2\cos\!\left(200t+\tfrac{\pi}{6}\right)\bigr)^{2}=4\cos^{2}\!\left(200t+\tfrac{\pi}{6}\right).
Agora usamos a identidade trigonométrica básica para o quadrado do cosseno:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Breve explicação dessa identidade: parte da fórmula de cosseno do ângulo duplo,
\cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1,
isola-se \cos^{2}\theta e obtém-se \cos^{2}\theta=(1+\cos(2\theta))/2. Essa identidade é muito útil para transformar potências de cosseno em termos que envolvem uma componente DC (constante) e uma oscilatória com o dobro da frequência angular.

Passo 3

Aplicando a identidade em y(t):
y(t)=4\cdot\frac{1+\cos\!\bigl(2(200t+\tfrac{\pi}{6})\bigr)}{2}.
Simplificando:
y(t)=2\left[1+\cos\!\left(400t+\tfrac{\pi}{3}\right)\right].
Logo, a forma final é
y(t)=2+2\cos\!\left(400t+\tfrac{\pi}{3}\right).
Comentário didático: ao elevar ao quadrado, a componente oscilatória teve a pulsação dobrada de 200 para 400\\ \text{rad/s} e surgiu uma componente constante (DC) igual a 2.

Passo 4

Interpretação da forma encontrada para determinar o pico. Uma função do tipo
y(t)=A_{\text{DC}}+A\cos(\omega t+\varphi)
tem valor máximo igual a A_{\text{DC}}+|A| e valor mínimo igual a A_{\text{DC}}-|A|, porque \cos(\cdot) varia entre -1 e 1.
No nosso caso:
A_{\text{DC}}=2,\qquad A=2,\qquad \omega=400\\ \text{rad/s}.
Portanto o valor máximo (pico) de y(t) é
y_{\max}=2+2=4.
Também é útil notar que o valor mínimo é 2-2=0 e o pico-a-pico é 4.

Passo 5

Agora determinamos a frequência fundamental de y(t). A componente oscilatória não nula de y(t) tem pulsação angular
\omega_{y}=400\\ \text{rad/s}.
A frequência em hertz (ciclos por segundo) relaciona-se com a pulsação por
f_{0}=\frac{\omega_{y}}{2\pi}.
Substituindo \omega_{y}=400\\ \text{rad/s} obtemos
f_{0}=\frac{400}{2\pi}=\frac{200}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 63,66\\ \text{Hz}.
Também a ordem temporal (período) é
T_{0}=\frac{1}{f_{0}}=\frac{2\pi}{400}=\frac{\pi}{200}\\ \text{s}\approx 0{,}01571\\ \text{s}.

Passo 6

Recapitulando de forma prática e rápida para a prova:
  • ao elevar x(t) ao quadrado, use \cos^{2}\theta=(1+\cos 2\theta)/2;
  • isso gera uma componente DC e uma componente com o dobro da pulsação original;
  • o pico de y(t) é A_{\text{DC}}+|A|;
  • a frequência fundamental vem da pulsação angular não nula presente em y(t), convertida para hertz por f=\omega/(2\pi).

Resposta

Valor de pico: 4
Frequência fundamental: f_{0}=\dfrac{400}{2\pi}=\dfrac{200}{\pi}\\ \text{Hz}\approx 63,66\\ \text{Hz}

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