Seja
, determine o valor e pico e a frequência fundamental do sinal
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede duas coisas sobre
:
- o valor de pico de
(ou seja, o máximo que atinge); - a frequência fundamental de
.
Informações importantes fornecidas:
- amplitude de
: ; - pulsação (frequência angular) de
: (veja que isto vem do termo ); - fase de
: .
Passo 2
Vamos obter uma expressão explícita para
. Primeiro escrevemos
Agora usamos a identidade trigonométrica básica para o quadrado do cosseno:
Breve explicação dessa identidade: parte da fórmula de cosseno do ângulo duplo,
isola-se
e obtém-se
. Essa identidade é muito útil para transformar potências de cosseno em termos que envolvem uma componente DC (constante) e uma oscilatória com o dobro da frequência angular.
Passo 3
Aplicando a identidade em
:
Simplificando:
Logo, a forma final é
Comentário didático: ao elevar ao quadrado, a componente oscilatória teve a pulsação dobrada de
para
e surgiu uma componente constante (DC) igual a
.
Passo 4
Interpretação da forma encontrada para determinar o pico. Uma função do tipo
tem valor máximo igual a
e valor mínimo igual a
, porque
varia entre
e
.
No nosso caso:
Portanto o valor máximo (pico) de
é
Também é útil notar que o valor mínimo é
e o pico-a-pico é
.
Passo 5
Agora determinamos a frequência fundamental de
. A componente oscilatória não nula de
tem pulsação angular
A frequência em hertz (ciclos por segundo) relaciona-se com a pulsação por
Substituindo
obtemos
Também a ordem temporal (período) é
Passo 6
Recapitulando de forma prática e rápida para a prova:
- ao elevar
ao quadrado, use ; - isso gera uma componente DC e uma componente com o dobro da pulsação original;
- o pico de
é ; - a frequência fundamental vem da pulsação angular não nula presente em
, convertida para hertz por .
Resposta
Valor de pico:
Frequência fundamental:
Frequência fundamental: