Para a(n)=\left(n^{2}-2\right)[u(n+2)-u(n-4)] e b(n)=\left(n^{2}+2\right)[u(n+4)- u(n-2)], determine:
e(n)=a(n) \cdot b(n)

Passo 1

Enunciado e o que se pede (peguei os dados do enunciado):
  • Foi dado a(n)=\left(n^{2}-2\right)\bigl[u(n+2)-u(n-4)\bigr].
  • Foi dado b(n)=\left(n^{2}+2\right)\bigl[u(n+4)-u(n-2)\bigr].
  • Pede-se e(n)=a(n)\cdot b(n) (produto ponto a ponto das duas sequências, isto é, \emph{multiplicação} para cada n).

Passo 2

Entendendo a função degrau discreta e o suporte das janelas:
  • A função degrau unitário discreta u(k)\) vale \[u(k)=\begin{cases}1, & k\ge 0,\\\\ 0, & k<0.\end{cases}
  • Assim u(n+2)\] é \(1 para n\ge -2 e 0 para n<-2. E u(n-4) é 1 para n\ge 4 e 0 para n<4.
  • Portanto o fator \bigl[u(n+2)-u(n-4)\bigr] é igual a 1 quando n satisfaz n\ge -2 \quad\text{e}\quad n<4,ou seja para os inteiros n\in\{-2,-1,0,1,2,3\}; fora desses n vale 0.
  • Analogamente, u(n+4) é 1 para n\ge -4 e u(n-2) é 1 para n\ge 2. Logo \bigl[u(n+4)-u(n-2)\bigr] vale 1 para n\ge -4 \quad\text{e}\quad n<2,ou seja para os inteiros n\in\{-4,-3,-2,-1,0,1\}; fora desses n vale 0.

Passo 3

Determinando onde ambas as janelas são simultaneamente 1 (interseção do suporte):
  • A janela de a(n) cobre n=-2,\dots,3.
  • A janela de b(n) cobre n=-4,\dots,1.
  • A interseção é n=-2,-1,0,1, isto é, todos os inteiros n com -2\le n\le 1.
  • Portanto o produto das duas janelas é a janela que vale 1 exatamente para -2\le n\le 1. Em forma de degraus: \bigl[u(n+2)-u(n-4)\bigr]\bigl[u(n+4)-u(n-2)\bigr]=u(n+2)-u(n-2).(Explicação simples: o início da janela resultante é \max(-2,-4)=-2 e o fim é \min(3,1)=1; a expressão u(n+2)-u(n-2) representa precisamente o intervalo -2\le n\le 1.)

Passo 4

Multiplicando as partes polinomiais:
  • O produto dos polinômios é \bigl(n^{2}-2\bigr)\bigl(n^{2}+2\bigr).
  • Usando a identidade (A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2} com A=n^{2} e B=2, obtemos \bigl(n^{2}-2\bigr)\bigl(n^{2}+2\bigr)=n^{4}-4.

Passo 5

Juntando janela e polinômio para obter e(n):
  • Como o produto ponto a ponto só é potencialmente não nulo na interseção -2\le n\le 1, temos e(n)=\bigl(n^{4}-4\bigr)\bigl[u(n+2)-u(n-2)\bigr].
  • Para ficar bem concreto, os valores para os n da janela são: \begin{aligned} e(-2)&=(-2)^{4}-4=16-4=12,\\\ e(-1)&=(-1)^{4}-4=1-4=-3,\\\ e(0)&=0^{4}-4=-4,\\\ e(1)&=1^{4}-4=-3, \end{aligned}e e(n)=0 para todo inteiro n fora de \{-2,-1,0,1\}.

Resposta

e(n)=\bigl(n^{4}-4\bigr)\bigl[u(n+2)-u(n-2)\bigr]
e(-2)=12
e(-1)=-3
e(0)=-4
e(1)=-3

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